微专题15 轻松搞定线面角问题（两大题型）（解析版）.docxVIP

微专题15轻松搞定线面角问题

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：等体积法

【方法技巧与总结】

线与面的夹角

①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．

②范围：

=3\*GB3③求法：

常规法：过平面外一点做平面，交平面于点；连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；

【典型例题】

题型一：定义法

【典例1-1】（2024·高二·湖南株洲·学业考试）如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，，.

??

(1)求三棱锥的体积；

(2)求证：BC⊥平面；

(3)求直线PC与平面所成角的正切值.

【解析】（1）由AB是⊙O的直径，C是圆上一点，，得，

，，而PA⊥⊙O所在的平面，

所以三棱锥的体积.

（2）由PA⊥⊙O所在的平面，⊙O所在的平面，则，

由（1）知，，又平面，

所以BC⊥平面.

（3）由PA⊥⊙O所在的平面，得是直线PC与平面所成的角，

所以.

【典例1-2】（2024·高一·全国·期末）如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A?C两点重合于点A′，连接.

??

(1)求证：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【解析】（1）在正方形中，有，

则，

又，平面，∴平面，

而平面，∴；

（2）连接交于点，连接，

∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点，

∴，

∴点G为的中点，则，

又，∴，

又平面，∴平面，

又面，所以面平面，

平面平面，∴在面的射影在上，

则为直线与平面所成角，

由（1）可得，∴为直角三角形，

在正方形中，，，

易得，，

又，∴，

∴，

∴直线与平面所成角的正弦值为.

题型二：等体积法

【典例2-1】（2024·高一·河北邯郸·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.

??

(1)证明：平面平面PAD.

(2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.

【解析】（1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG.

∵平面ABP，平面ABP，∴.

∵，∴.

∵AP，平面PAD，，∴平面

∵，，，，

∴，，

∴四边形BEFG是平行四边形，

∴，

∴平面PAD，又平面PED，

∴平面平面PAD.

（2）取AB的中点H，连接PH，AC.

∵平面ABP，平面ABP，

∴，

∴，

∴，易得.

∵，

∴.

∵平面ABP，平面ABCD，

∴平面平面ABP.

又，∴，∴平面ABCD

易得，，，，

∴.

设点A到平面PCD的距离为h，

∵，得，

∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为.

【典例2-2】（2024·高一·河北邢台·阶段练习）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且，.

??

(1)证明：平面平面；

(2)求直线与平面所成角的余弦值.

【解析】（1）

∵底面，平面，∴.

在中，；在中，，

易得，

又，∴，

设，则，即，

又，，平面，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（2）∵M是的中点，由题意可得，则.

∵平面，平面，∴.

设A到平面的距离为d，

∵，即，

∴，可得.

设直线与平面所成角为，则，

所以，

故直线与平面所成角的余弦值为.

【变式2-1】（2024·高一·四川遂宁·阶段练习）如图，四棱锥的底面为菱形，，，，平面，点在棱上.

??

(1)证明：；

(2)若三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的余弦.

【解析】（1）如图，连接，

因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，

所以，又因为，平面，平面，所以平面，

又因为平面，所以.

（2）设点到平面的距离为，

则三棱锥的体积，

解得.因为平面，，所以，即是棱的中点.

设，如图，连接，则平面，所以，

过点作的垂线，垂足为，连接，

由（1）知，平面，所以，

又，平面，平面，所以平面，

则为直线与平面的所成角，

因为，，所以，

又因为

，

因为，所以，

所以，又，

所以，

在中，，

所以直线与平面所成角的余弦值为.

【变式2-2】（2024·高二·浙江绍兴·期末）如图，四边形为正方形，平面，，．

(1)求证：平面；

(2)求与平面所成角的正弦值．

【解析】（1）

连接交于，如图，

由四边形为正方形，得，

又平面，平面，则，

而，即B，D，E，F四点共面，又，且平面，

所以平面.

（2）因为，则与平面所成角等于与平面所成角，

显然，，，

在中，由余弦定理得，

，因此，

设点到平面的距离为，

由平面，知，而，，则平面，

又，平面，平面，

则平面，即有点F到平面的距离为AB长2，又，

由，得，即，解得，

所以与平面所成角的正弦值为．

【过关测试】

1．（2024·高一·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱中，平面是的中点．若平面