中考数学模拟题分类汇编第三期专题32正多边形与圆试题含解析20240124384.doc

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正多边形与圆

填空题

1（2024·云南省昆明·3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为﹣（结果保留根号和π）

【分析】正六边形的中心为点O，连接ODOE，作OH⊥DE于H，根据正多边形的中心角公式求出∠DOE，求出OH，得到正六边形ABCDEF的面积，求出∠A，利用扇形面积公式求出扇形ABF的面积，结合图形计算即可

【解答】解：正六边形的中心为点O，连接ODOE，作OH⊥DE于H，

∠DOE==60°，

∴OD=OE=DE=1，

∴OH=，

∴正六边形ABCDEF的面积=×1××6=，

∠A==120°，

∴扇形ABF的面积==，

∴图中阴影部分的面积=﹣，

故答案为：﹣

【点评】本题考查的是正多边形和圆扇形面积计算，掌握正多边形的中心角内角的计算公式扇形面积公式是解题的关键

2（2024?呼和浩特?3分）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为

解：设⊙O的半径为r，⊙O的内接正方形ABCD，如图，

过O作OQ⊥BC于Q，连接OBOC，即OQ为正方形ABCD的边心距，

∵四边形BACD是正方形，⊙O是正方形ABCD的外接圆，

∴O为正方形ABCD的中心，

∴∠BOC=90°，

∵OQ⊥BC，OB=CO，

∴QC=BQ，∠COQ=∠BOQ=45°，

∴OQ=OC×cos45°=R；

设⊙O的内接正△EFG，如图，

过O作OH⊥FG于H，连接OG，即OH为正△EFG的边心距，

∵正△EFG是⊙O的外接圆，

∴∠OGF=∠EGF=30°，

∴OH=OG×sin30°=R，

∴OQ：OH=（R）：（R）=：1，

故答案为：：1

3（2024?莱芜?4分）如图，正方形ABCD的边长为2a，E为BC边的中点，的圆心分别在边ABCD上，这两段圆弧在正方形内交于点F，则EF间的距离为

【分析】作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，H为的圆心，连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，依据勾股定理可得GE=FG=，根据四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，即可得到Rt△OEG中，OE=a，即可得到EF=a

【解答】解：如图，作DE的中垂线交CD于G，则G为的圆心，同理可得，H为的圆心，

连接EF，GH，交于点O，连接GF，FH，HE，EG，

设GE=GD=x，则CG=2a﹣x，CE=a，

Rt△CEG中，（2a﹣x）2+a2=x2，

解得x=，

∴GE=FG=，

同理可得，EH=FH=，

∴四边形EGFH是菱形，四边形BCGH是矩形，

∴GO=BC=a，

∴Rt△OEG中，OE==a，

∴EF=a，

故答案为：a

【点评】本题主要考查了正方形的性质以及相交两圆的性质，相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系