中考数学模拟题分类汇编第三期专题41阅读理解图表信息试题含解析20240124374.doc

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阅读理解图表信息(包括新定义,新运算)

一填空题

（2024·湖北十堰·3分）对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为1

【分析】根据题意列出方程，解方程即可

【解答】解：由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6，

整理得，3x+3=6，

解得，x=1，

故答案为：1

【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意正确得到方程是解题的关键

二解答题

1（2024·湖北荆州·12分）阅读理解：在平面直角坐标系中，若两点PQ的坐标分别是P（x1，y1）

Q（x2，y2），则PQ这两点间的距离为|PQ|=如P（1，2），Q（3，4），则|PQ|==2

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴

（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是；

（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y=kx+交于EF两点，分别过EF作直线l的垂线，垂足分别是MN，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②+为定值

【解答】解：（1）设到点A的距离等于线段AB长度的点D坐标为（x，y），

∴AD2=x2+（y﹣）2，

∵直线y=kx+交y轴于点A，

∴A（0，），

∵点A关于x轴的对称点为点B，

∴B（0，﹣），

∴AB=1，

∵点D到点A的距离等于线段AB长度，

∴x2+（y﹣）2=1，

故答案为：x2+（y﹣）2=1；

（2）∵过点B作直线l平行于x轴，

∴直线l的解析式为y=﹣，

∵C（x，y），A（0，），

∴AC2=x2+（y﹣）2，点C到直线l的距离为：（y+），

∵动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，

∴x2+（y﹣）2=（y+）2，

∴动点C轨迹的函数表达式y=x2，

（3）①如图，

设点E（m，a）点F（n，b），

∵动点C的轨迹与直线y=kx+交于EF两点，

∴，

∴x2﹣2kx﹣1=0，

∴m+n=2k，mn=﹣1，

∵过EF作直线l的垂线，垂足分别是MN，

∴M（m，﹣），N（n，﹣），

∵A（0，），

∴AM2+AN2=m2+1+n2+1=m2+n2+2=（m+n）2﹣2mn+2=4k2+4，

MN2=（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn=4k2+4，

∴AM2+AN2=MN2，

∴△AMN是直角三角形，MN为斜边，

取MN的中点Q，

∴点Q是△AMN的外接圆的圆心，

∴Q（k，﹣），

∵A（0，），

∴直线AQ的解析式为y=﹣x+，

∵直线EF的解析式为y=kx+，

∴AQ⊥EF，

∴EF是△AMN外接圆的切线；

②证明：∵点E（m，a）点F（n，b）在直线y=kx+上，

∴a=mk+，b=nk+，

∵ME，NF，EF是△AMN的外接圆的切线，

∴AE=ME=a+=mk+1，AF=NF=b+=nk+1，

∴+=+====2，

即：+为定值，定值为2

2（2024·重庆市B卷）（1000分）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”

（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；

（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m

【分析】（1）先直接利用“极数”的意义写出三个，设出四位数n的个位数字和十位数字，进而表示出n，即可得出结论；

（2）先确定出四位数m，进而得出D（m），再再根据完全平方数的意义即可得出结论

【解答】解：（1）根据“极数”的意义得，1287，2376，8712，

任意一个“极数”都是99的倍数，

理由：设对于任意一个四位数且是“极数”n的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）

∴百位数字为（9﹣x），千位数字为（9﹣y），

∴四位数n为：1000（9﹣y）+100（9﹣x）+10y+x=9900﹣990y﹣99x=99（100﹣10y﹣x），

∵x是0到9的整数，y是0到8的整数，

∴100﹣10y﹣x是整数，

∴99（100﹣10y﹣x）是99的倍数，

即：任意一个“极数”都是99的倍数；

（2）设四位数m为“极数”的个位数字为x，十位数字为y，（x是0到9的整数，y是0到8的整数）

∴m=99（100﹣1