(33)--3.2.3 矩阵秩的性质线性代数.pdf

§3.2.3矩阵秩的性质

矩阵的秩的性质

①若A为m×n矩阵，则0≤R(A)≤min(m,n)．

②R(AT)=R(A)．

③若A~B，则R(A)=R(B)．

④若P、Q可逆，则R(PAQ)=R(A)．

⑤max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)．

特别地，当B=b为非零列向量时，有

R(A)≤R(A,b)≤R(A)＋1．

⑥R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

⑦R(AB)≤min{R(A),R(B)}．

⑧若Am×nBn×l=O，则R(A)＋R(B)≤n．

证：5）max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)＋R(B)．

因A的最高阶非零子式总是(A,B)的非零子式，故R(A)≤R(A,B)．

同理可证R(B)≤R(A,B)．于是max{R(A),R(B)}≤R(A,B)．

设R(A)=r,R(B)=t.则通过列初等变换

c

~

~~~

A~A(a,a,,a,0,,0),

12r

c

~~~~

B~B(b,b,,b,0,,0),

12t

~~~~

(A,B)中只含r+t个非零列，R(A,B)r+t，即

R(A,B)≤R(A)＋R(B)．

6）R(A＋B)≤R(A)＋R(B)．

设A，B都是mn矩阵.对矩阵(A+B，B)做列初等变换

c−c(i1,2,,n),即得(A+B，B)~(A，B),于是

in+i

R(A＋B)≤R(A＋B，B)=R(A，B)≤R(A)＋R(B)．

例1设A为n阶矩阵，证明R(A＋E)＋R(A－E)≥n．

证明：因为(A＋E)＋(E－A)=2E，

由性质“R(A＋B)≤R(A)＋R(B)”有

R(A＋E)＋R(E－A)≥R(2E)=n．

又因为R(E－A)=R(A－E)，所以

R(A＋E)＋R(A－E)≥n．

例2证明若Am×nBn×l=C，且R(A)=n，则R(B)=R(C)．

分析：若R(A)=n，则A的行最简形矩阵应该

◼有n个非零行；

◼每个非零行的第一个非零元为1；

◼每个非零元所在的列的其它元素都为零．

于是A的行最简形中应该包含以下n个列向量：

100





010

前n行

