导数的应用(必威体育精装版整理版).docVIP

曲线交点个数，方程解的个数，函数零点的个数

已知函数

（1）求函数的单调区间，并说明其单调性；

（2）求函数与的图像交点个数.

（《全品》.例4）已知，直线与曲线都相切，且与相切于顶点.

求；

若关于的方程的解得个数.

恒成立问题

基本模式

（1）恒成立（为常数）；

（2）恒成立（为常数）.

变式

函数表达式含参数：

已知恒成立，其中表达式含参数，为确定常数.

常用解法：

若是熟悉的常见函数（如一次函数型、二次函数型、双钩函数型等），可直接对分类讨论最小值：；此法较一般，典型如二次函数在闭区间上最值问题的含参讨论；

已知函数，对一切恒成立.求常数的取值范围.

非常见函数用上法讨论过于复杂时，首先考虑用“参变量分离”，将问题转化为前述“基本模式”；

“参变量分离”有时会遇到作除法时除数正负不定的情况，可考虑对自变量“分段讨论”；

已知函数，对一切恒成立.求常数的取值范围.

上述“REF_Ref298192450\r\hREF_Ref298192540\r\h例3：”也可用此法.

“分段讨论”过于复杂时，或“参变量分离”后，用导数法求“新函数”最值较困难时，也可采用解法①；

此类解法在2010年各地高考导数综合题中较为常见（上述“REF_Ref298192493\r\h例4：”也可用此法）.如：

（2010湖北理，21）已知函数的图像在点处的切线方程为.

用表示；

若在上恒成立，求的取值范围；

证明：.

此类问题常见呈现方式

直接求证不等式恒成立；

（2011届湖北八校第一次联考）已知函数.

若是函数的一个极值点，求的值；

（*）求证：当时，在上是增函数；

若对于，总存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。

已知（含参）不等式恒成立，求参数取值范围；

已知函数在区间上的单调性：函数为常见函数时，直接讨论其单调区间和已知区间的关系；非常见函数时，需要转化为（或）恒成立；

由较复杂不等式恒成立问题转化而来，如：

已知恒成立恒成立.

如：

（《全品》.例5）已知，且时，不等式恒成立，求实数的取值范围.