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第十一章 全等三角形 小结
一、全等形
能够完全重合的两个图形叫做全等形。
二、全等三角形1、概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。注意:
(1)两个三角形全等,互相重合的顶点叫做对应点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。
(2)“能够完全重合”是指在一定的叠放下,可以完全重合,不是胡乱摆放都能重合。
2、全等三角形的符号表示、读法
△ABC与△A′B′C′全等记作△ABC≌△A′B′C′,“≌”读作“全等于”。
注意:
(1)计两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应的位置上,这样对应的两个字母为端点的线段是对应边;对应的三个字母表示的角是对应角(若用一个字母表示一个角亦是如此)。
(2)对应角夹的边是对应边,对应边的夹角是对应角。
(3)对应边、对应角是对两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系,对边是与角相对的边,对角是与边相对的角。
3、全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等,对应角相等。
4、三角形全等的识别方法
(1)三边对应相等的两个三角形全等,简写成“边边边”和“SSS”。
(2)两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”和“SAS”。
(3)两角和他们的夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“角边角”和“ASA”。
(4)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”和“AAS”。
(5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,简写成“斜边、直角边”和“HL”。
注意:
SSA、AAA不能识别两个三角形全等,识别两个三角形全等时,必须有边的参与,如果有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角。
5、三角形全等的证明思路
找夹角——SAS
(1)已知两边 找直角——HL
找另一边——SSS
找边的对角——AAS
(2)已知一边一角 边为角的邻边 找夹角的另一边——SAS
找夹边的另一角——ASA边为角的对边——找任意一角——AAS
(3)已知两角 找夹边——ASA
找任意一边——AAS
6、全等变换
一个图形与另一个图形的形状一样,大小相等,只是位置不同,我们称这个图形是另一个图形的全等变换,三种基本全等变换:(1)旋转;(2)翻折;(3)平移。
三、角平分线的性质定理及逆定理1、性质定理:角平分线上的点到角的两边距离相等。
注意:(1)定理作用:a.证明线段相等;b.为证明三角形全等准备条件。
(2)点到直线的距离,即点到直线的垂线段的长度。
2、逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在角平分线上。3、三角形的内心
利用角的平分线的性质定理可以导出:三角形的三个内角的角平分线交于一点I,此点叫做三角形的内心,它到三边的距离相等。
说明:(1)三角形三条角平分线交于一点,这个点到三边的距离相等。
(2)三角形两个外角的角平分线也交于一点,这个点到三边所在的直线的距离相等。
(3)三角形外角角平分线的交点共有3个,所以到三角形三边所在的直线的距离相等的点共有4个。
第十二章 轴对称 小结
一、轴对称图形的概念:
如果一个图形沿着某一条直线对折,对折的两部分能完全重合,那么就称这样的图形为轴对称图形,这条直线叫做这个图形的对称轴。这时,我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称。
如:正方形、长方形、圆形一定是轴对称图形;三角形、四边形、梯形不一定是轴对称图形;平行四边形一定不是轴对称图形。
注意:
(1)一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条,如正方形有4条对称轴、长方形有2条对称轴、圆形有无数条对称轴、正三角形有3条对称轴、正n边形有n条对称轴。
(2)轴对称图形需要注意的重点:①一个图形;
②沿一条直线折叠,对折的两部分能完全重合(即重合到自身上)。
二、轴对称的概念:
把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够和另一个图形完全重合,那么就说这两个图形成轴对称,这条直线就是对称轴。两个图形中经过翻折之后互相重合的点叫做对应点,也叫做对称点。注意:(1)两个图形成轴对称和轴对称图形的概念,前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形。
(2)成轴对称的两个图形不仅大小、形状一样而且与位置有关。
三、轴对称的性质:1、关于某条直线对称的图形是全等形;
2、如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;3、两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;4、如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分,那么,这两个图形关于这条直线对称。注意:(1)全等的图形不一定是轴对称的,轴对称的图形一定是全等的
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