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对数知识点整理

1对数的概念

如果a（a0,且1）的b次幕等于N，即ab N，那么数b叫做以a为底N的对数，记

作：logaNb,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

由定义知：

负数和零没有对数；

a0且1,N0;

gl0,logaa1,alogabb,logaabb

特别地，以10为底的对数叫常用对数， 记作log10N,简记为lgN;以无理数e（e=2.71828

为底的对数叫做自然对数，记作 logeN，简记为InN

2对数式与指数式的互化

式子名称指数式abN（底数）（指数）（幕值）对数式logaNb（底数）（对数）（真数）

3对数的运算性质

如果a0,a工1,M0,N0,那么

（1）loga（MN）logaMlogaN（2loga（MN）logaMlogaN

logaMbblogaM

问：①公式中为什么要加条件 a0,a丰1,M0,N0?

logaan （n€R）

对数式与指数式的比较?（学生填表）

运算性质

mnmnmnmn

aaa,aaa

（a）a（a0且a*1,n€R）

loga(MN)logaMlogaN,loga(MN)logaMlogaN(a0,a丰1,M0,N0)

难点疑点突破

对数定义中，为什么要规定 a0,,且a*1?

理由如下：

若av0,贝UN的某些值不存在，例如log-28

若a=0，贝UN*0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数

对数知识点整理全文共1页，当前为第1页。若a=1时，则N*1时b不存在；

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为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于 1的正数

解题方法技巧

1

将下列指数式写成对数式：

54=625:②2-6=164:③3x=27;④13m=5 73.

将下列对数式写成指数式：

log1216=-4;②Iog2128=7；

Iog327=x;④Ig0.01=-2;

⑤In10=2.303;?lgn=k.

解析由对数定义：ab=NlogaN=b.

解答⑴①log5625=4.②log2164=-6.

log327=x.④log135.73=m.

解题方法

指数式与对数式的互化，必须并且只需紧紧抓住对数的定义： ab=NlogaN=b.(2)①

12-4=16.②27=128.③3x=27.

10-2=0.01.⑤e2.303=10.⑥10k=n.

2

根据下列条件分别求x的值：

log8x=-23;(2)log2(log5x)=0;

logx27=31+log32 ;(4)logx(2+3)=-1.

解析⑴对数式化指数式，得：x=8-23=?

log5x=20=1.x=?

31+log32=3X3log32=?27=x?

2+3=x-1=1x.x=?

解答(1)x=8-23=(23)-23=2-2=14.

log5x=20=1,x=51=5.

logx27=3X3log32=3X2=6,

???x6=27=33=(3)6,故x=3.

2+3=x-仁1x,?x=12+3=2-3.

解题技巧

转化的思想是一个重要的数学思想， 对数式与指数式有着密切的关系，在解决有关问题时，

经常进行着两种形式的相互转化 .

熟练应用公式：loga仁0,logaa=1,alogaM=M,logaan=n.3

已知logax=4,logay=5，求A=〔x3x-1y2〕12的值.

解析思路一，已知对数式的值， 要求指数式的值，可将对数式转化为指数式，再利用指数式

的运算求值；

思路二，对指数式的两边取同底的对数，再利用对数式的运算求值

解答解法一Tlogax=4,logay=5,

对数知识点整理全文共2

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A=x512y-13=(a4)512(a5)-13=a53 a-53=a0=1.

解法二对所求指数式两边取以 a为底的对数得

logaA=loga(x512y-13)

=512logax-13logay=512 4-135=0,

???A=1.

解题技巧

有时对数运算比指数运算来得方便， 因此以指数形式出现的式子， 可利用取对数的方法，把

指数运算转化为对数运算.4

设x,y均为正数，且xy1+lgx=1(x丰110),求lg(xy)的取值围.

解析一个等式中含两个变量 x、y,对每一个确定的正数 x由等式都有惟一的正数 y与之对

应，故y是x的函数，从而lg(xy)也是x的函数.因此求lg(xy)的取值围实际上是一个求函数值域的