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有理数中的“非负性”问题

我们知道：有理数中，任何数的绝对值和偶次方都是一个“非负数”，即 ≥0， ≥0

（n为整数）。我们称其具有非负性。这两条性质常作为求解很多有理数问题的隐含条件，我们要熟练掌握。

一、绝对值的非负性

例1若m、n满足 ，则－ｍ·ｎ= 。解：∵ ， 又

∴3m－６＝０ ｎ+４＝０ ∴ｍ＝２ ｎ＝－４

∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８ 。

例2若 ，

求：的值

解：∵ ， 又

∴a－１＝０ ａｂ－２＝０ ∴ａ＝１ ｂ＝２原式＝

＝

＝１－ ＝二、偶次幂的非负性

例３已知 ，求：⑴ ； ⑵解：∵ ， 又

∴ｘ－２＝０ ３－ｙ＝０ ∴ｘ＝２ ｙ＝３

⑴ ＝ ＝８ ⑵ ＝

由上面三道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂的非负性通常都是作为隐含条件出现的。解答这类问题的一般步骤是：①先根据绝对值或偶次幂的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。求解时，还要注意突出分析过程，而不能直接赋值计算。

解读近似数的精确度

近似数的精确度表示近似数与准确数的接近程度。精确度有两种表示形式：一是用精确到哪一位（精确位）表示，一是用保留几个有效数字（有效数字）表示。精确度的两种表示形式的实际意义及取值要求是不一样的，在学习时要加以区别。

一、解读“精确到哪一位”

⑴对一个数取近似数，要求精确到某一个数位，我们就将所要求精确到的数位后一位数字“四舍五入”得到近似数。该近似数最后一位数是由“四舍五入”得到的数，最后一位数所在的数位即是精确到的数位。

如：近似数3.52，最后一位数字2是由“四舍五入”得到的数，2所在的数位为百分位，即近似数3.52精确到百分位。

又如：9989.653（精确到个位）的近似数，将个位后的十分位上的6“四舍五入”，近似数为9990。1.35835（精确到0.001）的近似数，将千分位后的万分位上的3“四舍五入”，近似数为1.358。

⑵精确到哪一位表示的实际意义：主要用于表示近似数与准确数之间误差绝对值的大小。例如，在测量长度时，精确到0.1米，说明结果与实际相差不大于0.05米。

⑶确定用科学记数法表示的近似数、带数量级单位的近似数精确到哪一位时，要先将该数还原成原来的数，再看它最后一个数字所在的数位即精确到哪一位。

如近似数1.230×106，还原成原数为1230000，最后一位数字0所在的数位为千位，因此近似数1.230×106精确到千位（而不是千分位！）。

近似数5.04万，还原成原数为50400，最后一个数字4所在的数位为百位，因此近似数5.04万精确到百位（而不是百分位！）。

⑷近似数的最后一位数字是由“四舍五入”得到的数，根据近似数可以确定准确数的取值范围。一般地，近似数m所表示的准确数a的范围是：m－精确位后一位的5个单位≤a＜m+精确位后一位的5个单位。

如近似数8.40所表示的准确数a的范围是8.40－0.005≤a＜8.40+0.005，即8.395≤a＜8.405二、解读有效数字

⑴从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

有效数字的起止，尤其要注意先确定出“左边第一个非0的数”。“左边第一个非0的数”前面的0，都不是有效数字；“左边第一个非0的数”后面的0，则都是有效数字。

如：近似数0.005070的有效数字，“左边第一个非0的数”为5，5前面的0不是有效数字，5后面的0是有效数字，因此近似数0.005070的有效数字有5、0、7、0共4个。

⑵有效数字的实际意义：主要用于比较几个近似数哪个更精确一些。一般地保留的有效数字越多越精确。如对圆周率取近似数，保留3个有效数字所得的3.14，比保留两个有效数字所得的3.1更精确。

⑶按有效数字要求取近似数，一般要保留几位有效数字，就从“左边第一个非0的数”开始向右数到要保留的有效数字位数后一个数字进行“四舍五入”。最后一个有效数字为由“四舍五入”得到的数。观察最后一位有效数字的后一位数字，可得到近似数m所表示的准确数a的取值范围。m－最后一位有效数字后一位的5个单位≤a＜m+最后一位有效数字后一位的5个单位。

如：保留三个有效数字得21.0的近似数，其准确数的取值范围是

最后一个有效数字0是“四舍五入”得到的数，所在数位为十分位，因此21.0－0.05≤a＜21.0+0.05，即20.95≤a＜21.05。

⑷科学记数法表示的近似数的有效数字，仅是指a×10n中a的有效数字；带数量级单位的近似数的有效数字，则不考虑数量级所表示的0的个数。

如：近似