华东师大数学分析习题解答5.docx

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《数学分析选论》习题解答

第五章 级 数

１．下列命题中有些是真命题，有些是伪命题．对真命题简述理由；对假命题举出反例

?（题中“ an

?

?

”是“?an

n?1

”的简写）：

（１）

（２）

?a ，?b 发散 ?

n nn n?a ，?b

n n

n n

?(a ?b )发散；

n nnn?a

n n

nn

?（３）

?

a2,?b2

收敛 ? ?ab

n收敛；

n

nnn（４）

n

n

n

（５）

?a ，?b 绝对收敛 ?

n n?n n?a 收敛，?b

n n

?

n n

anb 绝对收敛；

?nnanb 绝对收敛；

?

n

n

?（６） an

?

收敛，

limb ?1

nn??

n

? ?ab

nn收敛；

n

n

（７）

?|a

|收敛，

limb ?1

nn??

n

? ?|ab

|收敛；

nnn（８）liman?0

n

n

n

n??

? a ?a ?a ?a

1 1 2 2

a

a ?a

3 3

???收敛；

n?（９） an收敛 ?

n

?

? n收敛；

?（１０） an

?

收敛 ? limnan

n??

?0；

（１１）

?|a |收敛 ? ?a(a

n n

n n

???an)收敛；

（１２）

?a 收敛 ? ?|a ?a |

n n n?1

收敛；

（１３）?a?与?(a ?a )收敛 ?

n n n?1

?a 收敛；

n（１４）?|aa |收敛 ?

n

nn n?1

n

?a 收敛；

n?（１５）n|an|?1 ?

n

?

?a 发散；

?n（１６）

?

n

a2 收敛 ?

a3 收敛；

nn（１７）liman?0

n

n

n??

? ?|a

?an?1|

收敛；

?（１８）? |a ?a |收敛 ? ?a?收敛；

n n?1 n

（１９）|a

n

|～ cnp

(n??) ? ?|a

n

|与? 1 同敛态；

np

?（２０）?a

n

收敛 ? lim

n??

1(a ?2a

n 1 2

??nan

)?0．

解 其中有十二个真命题：（３），（４），（５），（７），（８），（９），（１１），

（１３），（１６），（１８），（１９），（２０）；其余八个是伪命题．现依此简述如下：

（１）反例：a ?n,b ??n,

n n

?(a ?b)?0为收敛．

??n n

?

?

(?1)n

?(?1)n?2 1

n（２）反例：?

n

收敛，??

? ??

nn

n

为发散．

（３）因|a b

n n

|?a2

n

? ?

?b2 ．

n

（４），（５）因?a

n

收敛 ? lima

?n?? n

?

?0 ?|a

n

|?1(n?N)

nn?|ab

n

n

?

|?|b |?

?n ?

?

?|ab

|收敛．

(?1)n

|b |收敛

n

(?1)n

n n

?(?1)n 1?

（６）反例：a ?

,b ?1?

，?ab

??? ? ?为发散．

nnnn n nn ? n?

n

n

n

? ?

（７）因 limb ?1 ? |b |?2(n?N)，

n?? n

?|a

?

n

n?b |?2|a |?

n

?

n n ?

?|ab

|收敛．

|an|收敛 ?

（８）因S2n

?0,S

?a

2n?1 n

?0(n??)? limS

n nn??

n n

?1?

?0．

a

（９）据阿贝尔判别法，?a

收敛，?

?单调有界，故?

n收敛．

（１０）反例：?a

n

n

n??(?1)n

n

?n?

收敛，而

?na

n

n

不存在极限．???(?1)n?

不存在极限．

（１１）由

?|a |收敛，

n

?? a ? ?a

?

1 n

?|a

1

|???|an

|?M

? a(a

n 1

??an

) ?M|a |

n

??a(a

?

n 1

??an

) 绝对收