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陈纪修数学分析答案
【篇一:陈纪修教授《数学分析》九讲学习笔记与心得】
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此次听陈教授的课,收益颇多。陈教授的这些讲座,不仅是在教我
们如何处理《数学分析》中一些教学重点和教学难点,更是几堂非
常出色的示范课。我们不妨来温习一下。
第一讲、微积分思想产生与发展的历史
法国著名的数学家h.庞加莱说过:“如果我们想要预见数学的将来,
适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”那么,如果你要学好并
用好《数学分析》,那么,掌故微积分思想产生与发展的历史是非
常必要的。陈教授就是以这一专题开讲的。
在学校中,我不仅讲授《数学分析》,也讲授《数学史》,所以我
非常赞同陈教授在教学中渗透数学史的想法,这应该也是提高学生
数学素养的有效途径。
在这一讲中,陈教授脉络清晰,分析精当,这是我自叹不如的。讲
《数学史》也有些年头,但仅满足于史料的堆砌,没有对一些精彩
例子加以剖析。如陈教授对祖暅是如何用“祖暅原理”求出球的体积
的分析,这不仅对提高学生的学习兴趣是有益的(以疑激趣、以奇
激趣),而且有利于提高学生的民族自豪感(陈教授也提到了这一
点)。
第二讲、实数系的基本定理
在这一讲中,陈教授从《实变函数》中对集合基数的讨论展开,对
实数系的连续性作了有趣的讨论。首先是从绅士开party的礼帽问题,
带我们走进了“无穷的世界”。
我在开《数学赏析》时有一个专题就是“无穷的世界”,我给学生讲
礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题,但遗憾的是,当我剖析“若
无穷旅馆住满了人,再来两个时,可将住1号房间的移往3号房间,
住2号房间的移往4号房间,从而空出两个房间”时,学生对我“能
移”表示怀疑。这
一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子,用有限的眼光来看无
限,只能是只‘在此山中,云深不知处’。当”然,我还是会进一步考
虑如何来讲好这一讲。若陈教授或其他老师有好的建议,能指点一
下,则不胜感激。
对于集合[0,1]与(0,1)的对等关系,包括q与R的对等关系,或者说
他们之间双射的构造。关键在于“求同存异”,找一个可数集来“填补”
他们之间的差距,这相当于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和
来了可数个人。
从可数集到不可数集,再加上无最大基数定理,让我们看到了“无穷
的层次性”,由此我们不难理解“人外有人,天外有天,无穷之外有
无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾,羡长江之无穷”的感慨。
陈教授对单调确界原理的证明非常清晰明了,几何直观的描述形象
直观。
第三讲《数学分析》课程中最重要的两个常数
法国著名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美,而是缺少发现
美的眼睛”。我想说:“数学中并不缺少美,缺少的是揭示数学美的
老师”。陈教授是一个出色的老师,他不仅发现了数学的美,而且为
我们展示了数学的美。
著名的欧拉公式:e?i?1?0,实现了有理数、无理数、超越数、实
数、虚数完美统一,获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在他
那个时代,数学中最重要的几个常数(0,1,i,e,?)之间的绝妙的有趣
的联系,被认为是数学奇异美的典例。
在本讲中,陈教授以李大潜院士访问法国“引入”的一个有趣例子开
讲,让我们体会了数学中的美,这个不等式还有许多有意思的地方,
无论是不等式的形式,还是他的证明,都非常深刻地体现了数学的
美。pi是无理数的证明,吸引了与会学员的眼球,赞叹之余,有学
员问这一证法的出处,我也还真想知道,请陈教授不吝指教。
本讲最后将函数sinx/x展成无穷乘积形式,并妙用此形式求出p级
数中p为偶数值时的和,对我而言是耳目一新的。在我记忆中好像
菲尔金哥尔茨的《微积分学教程》(第二卷)中也有求出的方法,而p
为奇数的情形好像至今尚未解决。对p=2的情形,欧拉至少用两种
方法得到结果,其中一种方法妙用了l’hospital法则(《数学译林》
09.3)。
第四讲级数与反常积分收敛的a.d判别法
恰逢这个学期讲《数学分析》(3),在讲授含参变量反常积分时,先
复习了反常积分,再复习了函数项
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