华东师大数学分析习题解答2.docx

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《数学分析选论》习题解答

第二章 连 续 性

１． 设x,y??n，证明：

||x?y||2

证 由向量模的定义，

?||x?y||2 ?2(||x||2?||y||2) ．

||x?y||2

?||x?y||2?

n

?(x

?

i

i?1

?y)2

i

n

??

??

i

i?1

?y)2

i

2? ?n

2

i?1

(x2

i

?y2)?2(||x||2

i

?||y||2) ． □

?2． 设S??n

,点x??n

到集合S的距离定义为

?(x,S)?inf ?(x,y)．

y?S

证明：（１）若S是闭集，x?S，则?(x,S)?0；

（２）若S?S?Sd(称为S的闭包)，则

S? x??n|?(x,S)?0 ．

??证 （１）倘若?(x,S)? 0 ，则由?(x,S) 的定义，?y ?S，使得

?

?

n

?(x,yn

) ? 1 , n?1,2, ．

?n

?

因x?S，故y ?x，于是x必为S的聚点；又因S是闭集，故x?S ，这就导致矛

n

盾．所以证得?(x,S)?0．

（２）?x?S．若x?S，则?(x,S)? 0显然成立．若x?S，则x?Sd（即x

为S的聚点），由聚点定义，???0, U

(x;?)?S ??，因此同样有

inf ?(x,y)??(x,S)?0．

y?S

反之，凡是满足?(x,S)? 0的点x，不可能是S的外点（若为外点，则存在正

数? ，使U(x;?

0 0

)?S ??，这导致inf ?(x,y)??

0

y?S

?0 ，与?(x,S)? 0相

矛盾）．从而x只能是S的聚点或孤立点．若x为聚点，则x?Sd?S；若x为孤立点，

则x?S?S．所以这样的点x必定属于S ．

?综上，证得S?

?

x??n|?(x

,S)?0

成立． □

?３．证明：对任何S??n

?

证 如图所示，设x 为Sd

0

，Sd必为闭集．的任一聚点，

U?(x0;?)

欲证x

0

?Sd

，即x

0

亦为S的聚点． x

0S ?

0

这是因为由聚点定义，???0,?y ，使得

?

Sd U(y;?)

y?U?(x

0

;?)?Sd．

再由y 为S的聚点，?U(y;?)?U

(x ;?)，有

0

U?(y;?)?S ?? ．

于是又有U?(x ;?)? S ?? ，所以x 为S的聚点，即x ?Sd

0 0 0

，亦即Sd为闭

集． □

４．证明：对任何S??n ，?S 必为闭集．

证 如图所示，设x 为?S的任一聚点，欲证x ??S，即x 亦为S的界点．

0 0 0

U?(x0;?)

由聚点定义，???0,?y ，使

x0

S

y?U

(x

0

;?)??S．

再由y为界点的定义，?U(y;?)?U(xU(y;?) 0

;?)，

?S 在U(y;?)内既有S的内点，又有S的外点．由此

证得在U(x ;

0

?) 内既有S的内点，又有S的外点，所以x 为S的界点，即?S 必为

0

闭集．

□

?５．设S??n

，x 为S的任一内点，x 为S的任一外点．证明：联结x 与x

0 1 0 1

的直线段必与?S 至少有一交点．

x1Syx0

x

1

S

y

x

0

?S

0 1

为叙述方便起见，约定此实