中考数学二轮复习满分突破几何模型练习专题21 垂美四边形模型（原卷版）.doc

专题21垂美四边形模型

垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。

垂美四边形的性质：①S垂美四边形ABCD=12AC?BD②AB2+DC2=AD2+BC

证明：1）S垂美四边形ABCD=S△ABC+S△ADC

=12AC?BP+12AC?DP=12AC?(BP+DP)=1

结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。

2）∵AB2=AP2+BP2CD2=PD2+PC2

∴AB2+CD2=AP2+BP2+PD2+PC2

∵AD2=AP2+DP2BC2=BP2+PC2

∴AD2+BC2=AP2+BP2+PD2+PC2

∴AB2+DC2=AD2+BC2

[【变形一】如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP，

则DP、BP、AP、CP之间的关系：DP2+BP2=AP2+PC2

证明：∵DP2+BP2=DP2+BC2+PC2

PC2+AP2=PC2+DP2+AD2而AD=BC

∴DP2+BP2=AP2+PC2

[【变形二】如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP

则AP、BP，CP，DP之间的关系：AP2+PC2=DP2+BP2

证明（思路）：

方法一：

过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点H

由已知条件可得HF⊥EG∴HG2+EF2=EH2+FG2(证明过程略)

而AP=EH、BP=EF、CP=FG、DP=GH∴AP2+PC2=DP2+BP2

方法二：

将△APD平移至如图所示位置，点A与点B重合，点D与点C重合

由平移的性质可得DP=CM，AP=BM，DP∥CM，∴四边形DPMC为平行四边形

∴CD∥PM则∠1=∠2而∠2+∠3=90°

∴∠1+∠3=90°则∠CEP=90°∴BC⊥PM

∴BM2+PC2=CM2+BP2(证明过程略)

∴AP2+PC2=DP2+BP2

【培优过关练】

1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形SKIPIF10的对角线SKIPIF10，SKIPIF10互相垂直，若SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10则SKIPIF10的长为（????）

A．2.5 B．3 C．4 D．SKIPIF10

2．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形SKIPIF10的两条对角线互相垂直，SKIPIF10，则四边形SKIPIF10的最大面积是（????）

A．64 B．32 C．16 D．以上都不对

3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形SKIPIF10的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程SKIPIF10的两个解，则四边形SKIPIF10的面积是（????）

A．60 B．30 C．16 D．32

4．（2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形SKIPIF10的两条对角线互相垂直，SKIPIF10，则四边形SKIPIF10的面积最大值是（??????）

A．16 B．32 C．36 D．64

5．（2023春·八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE．若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(????)

A．7 B．9 C．16 D．25

6．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形SKIPIF10内任意一点，连接SKIPIF10，则下列结论正确的是（）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

7．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形SKIPIF10