牛顿插值MATLAB算法.doc

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MATLAB程序设计期中作业

——编程实现牛顿插值

成员:刘川〔P091712797〕签名_____

汤意〔P091712817〕签名_____

王功贺〔P091712799〕签名_____

班级:2009信息与计算科学

学院:数学与计算机科学学院

日期:2012年05月02日

牛顿插值的算法描述及程序实现

一:问题说明

在我们的实际应用中,通常需要解决这样的问题,通过一些的点及其对应的值,去估算另外一些点的值,这些数据之间近似服从一定的规律,于是,这就引入了插值法的思想。

插值法是利用函数f(x)在某区间中假设干点的函数值,作出适当的特定函数,在这些点上取值,在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f(x)的近似值。如果这特定函数是多项式,就称它为插值多项式。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化,整个公式也将发生变化,这在实际计算中是很不方便的,为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。

二:算法分析

newton插值多项式的表达式如下:

其中每一项的系数ci的表达式如下:

即为f(x)在点处的i阶差商,〔,〕,由差商的性质可知:

牛顿插值的程序实现方法:

第一步:计算。

第二步:计算牛顿插值多项式中,,得到n个多项式。

第三步:将第二步得到的n个多项式相加,得到牛顿插值多项式。

第四步:利用所得到的插值多项式,估算取其它值时的值。

第五步:作出所求多项式在插值结点周围的函数图像。

三:编程实现

function[p2,z]=newTon(x,y,t)

%输入参数中x,y为元素个数相等的向量,t为待估计的点,可以为数字或向量。

%输出参数中p2为所求得的牛顿插值多项式,z为利用多项式所得的t的函数值。

n=length(x);

chaS(1)=y(1);

fori=2:n

x1=x;y1=y;

x1(i+1:n)=[];

y1(i+1:n)=[];

n1=length(x1);

s1=0;

forj=1:n1

t1=1;

fork=1:n1

ifk==j

continue;

else

t1=t1*(x1(j)-x1(k));

end

end

s1=s1+y1(j)/t1;

end

chaS(i)=s1;

end

b(1,:)=[zeros(1,n-1)chaS(1)];

cl=cell(1,n-1);

fori=2:n

u1=1;

forj=1:i-1

u1=conv(u1,[1-x(j)]);

cl{i-1}=u1;

end

cl{i-1}=chaS(i)*cl{i-1};

b(i,:)=[zeros(1,n-i),cl{i-1}];

end

p2=b(1,:);

forj=2:n

p2=p2+b(j,:);

end

iflength(t)==1

rm=0;

fori=1:n

rm=rm+p2(i)*t^(n-i);

end

z=rm;

else

k1=length(t);

rm=zeros(1,k1);

forj=1:k1

fori=1:n

rm(j)=rm(j)+p2(i)*t(j)^(n-i);

end

z=rm;

end

end

plot(t,z,y,x,y,*r)

四:实例验证

clc

clear

x=[0.40.550.650.800.901.05];

y=[0.410750.578150.696750.888111.026521.25386];

t=0.4:0.1:1.05;

[u,v]=newTon(x,y,t)

执行结果:

u=

0.00850.00320.15870.00730.99710.0004

v=

0.41080.52110.63670.75860.88811.02651.1752

1.33561.5095

那么所求得的牛顿多项式为:

牛顿多项式的函数图像及节点在坐标中的显示如下:

五:结果分析

本程序给出了计算牛顿插值多项式的函数,通过调用函数可以求得牛顿多项式与待估算点的值,作出了节点及待求多项式的函数图像,能够比拟清晰的通过图像显示出来,总体来说,计算结果是比拟理想的,到达了我们的目的。

然而程序在实现过程中,依旧存在着一些缺乏之处,总体反响在灵活性方面,参数的输入必须为三个,否那么程序会出错,有时候我们仅需要得到牛顿多项式,而不需要去估算某个具体的x对应的函数值。另外,本程序的函数在实现过程中会给出多项式函数的函数图像,没有设置参数对其判断是否需要。因此,这些都是有待改良的地方。

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