中考数学二轮复习压轴题培优专练专题01 利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题（解析版） .doc

专题01利用三角形全等和相似的性质进行求解的问题

在几何压轴题中，全等三角形的性质和相似三角形的性质一般作为工具性质进行使用，用以帮助解决角度的相等问题或者线段的数量关系。

（1）在具体的压轴题中可以通过证明三角形全等或三角形相似，得到某两个角相等，再结合所求进行转化，从而得到我们想要的角度关系。

（2）压轴题中关于证明线段相等关系或者和差关系的证明时，一般通过三角形全等的性质，找出中间线段与所求线段的倍数关系，进行等量代换或者转化。

（3）压轴题中关于证明或探究线段之间的积关系或者比值关系时，一般利用三角形相似的性质进行转化，有时也会用到三角形全等的性质进行转化。

（2022·辽宁丹东·统考中考真题）已知矩形ABCD，点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接AE，以AE为一边构造矩形AEFG（A，E，F，G按逆时针方向排列），连接DG．

(1)如图1，当SKIPIF10＝SKIPIF10＝1时，请直接写出线段BE与线段DG的数量关系与位置关系；

(2)如图2，当SKIPIF10＝SKIPIF10＝2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由；

(3)如图3，在（2）的条件下，连接BG，EG，分别取线段BG，EG的中点M，N，连接MN，MD，ND，若AB＝SKIPIF10，∠AEB＝45°，请直接写出△MND的面积．

（1）证明△BAE≌△DAG，进一步得出结论；

（2）证明BAE∽△DAG，进一步得出结论；

（3）解斜三角形ABE，求得BE＝3，根据（2）SKIPIF10可得DG＝6，从而得出三角形BEG的面积，可证得△MND≌△MNG，△MNG与△BEG的面积比等于1：4，进而求得结果．

【答案】(1)BE＝DG，BE⊥DG

(2)BE＝SKIPIF10，BE⊥DG，理由见解析

(3)S△MNG＝SKIPIF10

【详解】（1）解：由题意得：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，

∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∴∠BAD﹣∠DAE＝∠EAG﹣∠DAE，

∴∠BAE＝∠DAG，

∴△BAE≌△DAG（SAS），

∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，

∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，

∴∠BDG＝90°，

∴BE⊥DG；

（2）BE＝SKIPIF10，BE⊥DG，理由如下：

由（1）得：∠BAE＝∠DAG，

∵SKIPIF10＝SKIPIF10＝2，

∴△BAE∽△DAG，

∴SKIPIF10，∠ABE＝∠ADG，

∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°，

∴∠BDG＝90°，

∴BE⊥DG；

（3）如图，

作AH⊥BD于H，

∵tan∠ABD＝SKIPIF10，

∴设AH＝2x，BH＝x，

在Rt△ABH中，

x2+（2x）2＝（SKIPIF10）2，

∴BH＝1，AH＝2，

在Rt△AEH中，

∵tan∠ABE＝SKIPIF10，

∴SKIPIF10，

∴EH＝AH＝2，

∴BE＝BH+EH＝3，

∵BD＝SKIPIF10＝5，

∴DE＝BD﹣BE＝5﹣3＝2，

由（2）得：SKIPIF10，DG⊥BE，

∴DG＝2BE＝6，

∴S△BEG＝SKIPIF10＝SKIPIF10＝9，

在Rt△BDG和Rt△DEG中，点M是BG的中点，点N是CE的中点，

∴DM＝GM＝SKIPIF10，

∵NM＝NM，

∴△DMN≌△GMN（SSS），

∵MN是△BEG的中位线，

∴MNSKIPIF10BE，

∴△BEG∽△MNG，

∴SKIPIF10＝（SKIPIF10）2＝SKIPIF10，

∴S△MNG＝S△MNG＝SKIPIF10S△BEG＝SKIPIF10．

本题主要考查了正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是类比的方法．

（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在SKIPIF10