中考数学二轮复习压轴题培优专练专题04 几何中的三点共线问题（原卷版） .doc

专题04几何中的三点共线问题

几何压轴题中的三点共线问题，一般有两种考查方式：

一是：假设某三点共线，探究线段的长度、线段的数量与位置关系、三角形或四边形的形状、面积等。在这一类题型，一般都是讲三点共线作为条件使用：

（1）在探究线段的长度，线段的数量关系时，多是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，进行转化求解，或者利用勾股定理和锐角三角函数进行求解。

（2）在探究三角形或四边形的形状时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长，再根据几何图形的判定进行求解即可。

（3）在探究面积问题时，一般先是利用全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长，再利用面积公式进行计算即可。

（4）在把三点共线作为条件使用时，要注意，在未明确三点位置关系时，要进行分类讨论，否则会出现漏解的情况。

二是证明三点共线：证明三点共线常用到以下几种方法：

（1）证明以位于中间点为顶点形成两个角的和为180°。

（2）先连接两点，证明第三个点在连线上，具体可以证明三点连线重合（先证平行，再证有公共点），也可以以某一点为顶点构造角，证明角相等（如图：证明∠DCB=∠DCA，在证点B在AC上）。

（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在SKIPIF10中，SKIPIF10，SKIPIF10，点M为边SKIPIF10的中点，动点P从点A出发，沿折线SKIPIF10以每秒SKIPIF10个单位长度的速度向终点B运动，连结SKIPIF10．作点A关于直线SKIPIF10的对称点SKIPIF10，连结SKIPIF10、SKIPIF10．设点P的运动时间为t秒．

(1)点D到边SKIPIF10的距离为__________；

(2)用含t的代数式表示线段SKIPIF10的长；

(3)连结SKIPIF10，当线段SKIPIF10最短时，求SKIPIF10的面积；

(4)当M、SKIPIF10、C三点共线时，直接写出t的值．

（1）连接DM，根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB，再由勾股定理，即可求解；

（2）分两种情况讨论：当0≤t≤1时，点P在AD边上；当1＜t≤2时，点P在BD边上，即可求解；

（3）过点P作PE⊥DM于点E，根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心，AM长为半径的圆，可得到当点D、A′、M三点共线时，线段SKIPIF10最短，此时点P在AD上，再证明△PDE∽△ADM，可得SKIPIF10，从而得到SKIPIF10，在SKIPIF10中，由勾股定理可得SKIPIF10，即可求解；

（4）分两种情况讨论：当点SKIPIF10位于M、C之间时，此时点P在AD上；当点SKIPIF10（SKIPIF10）位于CM的延长线上时，此时点P在BD上，即可求解．

【答案】(1)3

(2)当0≤t≤1时，SKIPIF10；当1＜t≤2时，SKIPIF10；

(3)SKIPIF10

(4)SKIPIF10或SKIPIF10

【详解】（1）解：如图，连接DM，

∵AB=4，SKIPIF10，点M为边SKIPIF10的中点，

∴AM=BM=2，DM⊥AB，

∴SKIPIF10，

即点D到边SKIPIF10的距离为3；

故答案为：3

（2）解：根据题意得：当0≤t≤1时，点P在AD边上，

SKIPIF10；

当1＜t≤2时，点P在BD边上，SKIPIF10；

综上所述，当0≤t≤1时，SKIPIF10；当1＜t≤2时，SKIPIF10；

（3）解：如图，过点P作PE⊥DM于点E，

∵作点A关于直线SKIPIF