中考数学二轮复习压轴题培优专练专题04 几何中的三点共线问题(原卷版) .doc

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专题04几何中的三点共线问题

几何压轴题中的三点共线问题,一般有两种考查方式:

一是:假设某三点共线,探究线段的长度、线段的数量与位置关系、三角形或四边形的形状、面积等。在这一类题型,一般都是讲三点共线作为条件使用:

(1)在探究线段的长度,线段的数量关系时,多是利用全等三角形的性质,相似三角形的性质,进行转化求解,或者利用勾股定理和锐角三角函数进行求解。

(2)在探究三角形或四边形的形状时,一般先是利用全等三角形的性质,相似三角形的性质,勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长,再根据几何图形的判定进行求解即可。

(3)在探究面积问题时,一般先是利用全等三角形的性质,相似三角形的性质,勾股定理或者锐角三角函数求出相应的边长,再利用面积公式进行计算即可。

(4)在把三点共线作为条件使用时,要注意,在未明确三点位置关系时,要进行分类讨论,否则会出现漏解的情况。

二是证明三点共线:证明三点共线常用到以下几种方法:

(1)证明以位于中间点为顶点形成两个角的和为180°。

(2)先连接两点,证明第三个点在连线上,具体可以证明三点连线重合(先证平行,再证有公共点),也可以以某一点为顶点构造角,证明角相等(如图:证明∠DCB=∠DCA,在证点B在AC上)。

(2022·吉林长春·统考中考真题)如图,在SKIPIF10中,SKIPIF10,SKIPIF10,点M为边SKIPIF10的中点,动点P从点A出发,沿折线SKIPIF10以每秒SKIPIF10个单位长度的速度向终点B运动,连结SKIPIF10.作点A关于直线SKIPIF10的对称点SKIPIF10,连结SKIPIF10、SKIPIF10.设点P的运动时间为t秒.

(1)点D到边SKIPIF10的距离为__________;

(2)用含t的代数式表示线段SKIPIF10的长;

(3)连结SKIPIF10,当线段SKIPIF10最短时,求SKIPIF10的面积;

(4)当M、SKIPIF10、C三点共线时,直接写出t的值.

(1)连接DM,根据等腰三角形的性质可得DM⊥AB,再由勾股定理,即可求解;

(2)分两种情况讨论:当0≤t≤1时,点P在AD边上;当1<t≤2时,点P在BD边上,即可求解;

(3)过点P作PE⊥DM于点E,根据题意可得点A的运动轨迹为以点M为圆心,AM长为半径的圆,可得到当点D、A′、M三点共线时,线段SKIPIF10最短,此时点P在AD上,再证明△PDE∽△ADM,可得SKIPIF10,从而得到SKIPIF10,在SKIPIF10中,由勾股定理可得SKIPIF10,即可求解;

(4)分两种情况讨论:当点SKIPIF10位于M、C之间时,此时点P在AD上;当点SKIPIF10(SKIPIF10)位于CM的延长线上时,此时点P在BD上,即可求解.

【答案】(1)3

(2)当0≤t≤1时,SKIPIF10;当1<t≤2时,SKIPIF10;

(3)SKIPIF10

(4)SKIPIF10或SKIPIF10

【详解】(1)解:如图,连接DM,

∵AB=4,SKIPIF10,点M为边SKIPIF10的中点,

∴AM=BM=2,DM⊥AB,

∴SKIPIF10,

即点D到边SKIPIF10的距离为3;

故答案为:3

(2)解:根据题意得:当0≤t≤1时,点P在AD边上,

SKIPIF10;

当1<t≤2时,点P在BD边上,SKIPIF10;

综上所述,当0≤t≤1时,SKIPIF10;当1<t≤2时,SKIPIF10;

(3)解:如图,过点P作PE⊥DM于点E,

∵作点A关于直线SKIPIF

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