第24章 圆（压轴必刷30题5种题型专项训练）（解析版）.pdfVIP

第24章圆（压轴必刷30题5种题型专项训练）

一．垂径定理（共5小题）

1．（2022秋•定海区期中）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB

2

两侧的半圆上，∠BCE＝∠BDF＝60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm．

【分析】作三角形DBF的轴对称图形，得到三角形AGC，三角形AGE的面积就是阴影部分的面积．

【解答】解：如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，

∵△DBF的轴对称图形△CAG，

由于C、D为直径AB的三等分点，

∴△ACG≌△BDF，

∴∠ACG＝∠BDF＝60°，

∵∠ECB＝60°，

∴G、C、E三点共线，

∵AM⊥CG，ON⊥CE，

∴AM∥ON，

∴＝，

在Rt△ONC中，∠OCN＝60°，

∴ON＝sin∠OCN•OC＝•OC，

∵OC＝OA＝2，

∴ON＝×2＝，

∴AM＝2，

∵ON⊥GE，

∴NE＝GN＝GE，

连接OE，

在Rt△ONE中，NE＝＝＝，

∴GE＝2NE＝2，

∴S△AGE＝GE•AM＝×2×2＝6，

∴图中两个阴影部分的面积为6，

故答案为：6．

【点评】本题考查了平行线的性质，垂径定理，勾股定理的应用．

2．（2022秋•拱墅区校级期中）在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8厘米，另一条弦

长为6厘米，则两弦之间的距离为7或1厘米．

【分析】先求出两弦的弦心距，再根据两弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论．

【解答】

解：如图，CD＝8，AB＝6，OA＝OC＝5，AB∥CD，OF⊥AB，OE⊥CD，

根据垂径定理知，点E为CD中点，CE＝4cm，点F为AB中点，AF＝3cm，

由勾股定理知，OE＝＝3cm，OF＝＝4cm，

分两种情况，

①当弦AB与弦CD在圆心的同侧时，弦AB与弦CD的距离EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm，

②当弦AB与弦CD在圆心的异侧时，弦AB与弦CD的距离EF＝OF+OE＝4+3＝7cm．

因此，两弦间的距离是1cm或7cm．

【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解，注意要分两种情况讨论．

3．（2022秋•绍兴期中）如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，

D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙G的运动过程

中，线段FG的长度的最小值为﹣1．

【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F

在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；

【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．

∵GO⊥AB，

∴OA＝OB，

在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，

∴AG＝2OG，OA＝＝，

∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，

∴∠AGO＝60°，

∵GC＝GA，

∴∠GCA＝∠GAC，

∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，

∴∠GCA＝∠GAC＝30°，

∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，

∵∠AFC＝90°，

∴点F在以AC为直径的⊙M上，

当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．

故答案为2，﹣1．