第24章 圆(压轴必刷30题5种题型专项训练)(解析版).pdfVIP

第24章 圆(压轴必刷30题5种题型专项训练)(解析版).pdf

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第24章圆(压轴必刷30题5种题型专项训练)

一.垂径定理(共5小题)

1.(2022秋•定海区期中)如图,半径为6cm的⊙O中,C、D为直径AB的三等分点,点E、F分别在AB

2

两侧的半圆上,∠BCE=∠BDF=60°,连接AE、BF,则图中两个阴影部分的面积为6cm.

【分析】作三角形DBF的轴对称图形,得到三角形AGC,三角形AGE的面积就是阴影部分的面积.

【解答】解:如图作△DBF的轴对称图形△CAG,作AM⊥CG,ON⊥CE,

∵△DBF的轴对称图形△CAG,

由于C、D为直径AB的三等分点,

∴△ACG≌△BDF,

∴∠ACG=∠BDF=60°,

∵∠ECB=60°,

∴G、C、E三点共线,

∵AM⊥CG,ON⊥CE,

∴AM∥ON,

∴=,

在Rt△ONC中,∠OCN=60°,

∴ON=sin∠OCN•OC=•OC,

∵OC=OA=2,

∴ON=×2=,

∴AM=2,

∵ON⊥GE,

∴NE=GN=GE,

连接OE,

在Rt△ONE中,NE===,

∴GE=2NE=2,

∴S△AGE=GE•AM=×2×2=6,

∴图中两个阴影部分的面积为6,

故答案为:6.

【点评】本题考查了平行线的性质,垂径定理,勾股定理的应用.

2.(2022秋•拱墅区校级期中)在半径为5厘米的圆内有两条互相平行的弦,一条弦长为8厘米,另一条弦

长为6厘米,则两弦之间的距离为7或1厘米.

【分析】先求出两弦的弦心距,再根据两弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论.

【解答】

解:如图,CD=8,AB=6,OA=OC=5,AB∥CD,OF⊥AB,OE⊥CD,

根据垂径定理知,点E为CD中点,CE=4cm,点F为AB中点,AF=3cm,

由勾股定理知,OE==3cm,OF==4cm,

分两种情况,

①当弦AB与弦CD在圆心的同侧时,弦AB与弦CD的距离EF=OF﹣OE=4﹣3=1cm,

②当弦AB与弦CD在圆心的异侧时,弦AB与弦CD的距离EF=OF+OE=4+3=7cm.

因此,两弦间的距离是1cm或7cm.

【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解,注意要分两种情况讨论.

3.(2022秋•绍兴期中)如图,以G(0,1)为圆心,半径为2的圆与x轴交于A、B两点,与y轴交于C,

D两点,点E为⊙G上一动点,CF⊥AE于F,则弦AB的长度为2;当点E在⊙G的运动过程

中,线段FG的长度的最小值为﹣1.

【分析】作GM⊥AC于M,连接AG.因为∠AFC=90°,推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F

在MG的延长线上时,FG的长最小,最小值=FM﹣GM,想办法求出FM、GM即可解决问题;

【解答】解:作GM⊥AC于M,连接AG.

∵GO⊥AB,

∴OA=OB,

在Rt△AGO中,∵AG=2,OG=1,

∴AG=2OG,OA==,

∴∠GAO=30°,AB=2AO=2,

∴∠AGO=60°,

∵GC=GA,

∴∠GCA=∠GAC,

∵∠AGO=∠GCA+∠GAC,

∴∠GCA=∠GAC=30°,

∴AC=2OA=2,MG=CG=1,

∵∠AFC=90°,

∴点F在以AC为直径的⊙M上,

当点F在MG的延长线上时,FG的长最小,最小值=FM﹣GM=﹣1.

故答案为2,﹣1.

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