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第24章圆(易错必刷30题10种题型专项训练)
一.圆的认识(共1小题)
1.(2022秋•巧家县期中)下列说法中,正确的是()
A.过圆心的直线是圆的直径
B.直径是圆中最长的弦
C.相等长度的两条弧是等弧
D.顶点在圆上的角是圆周角
【分析】根据直径,弦,等弧,圆周角的定义,逐一判断即可解答.
【解答】解:A、过圆心的弦是圆的直径,故A不符合题意;
B、直径是圆中最长的弦,故B符合题意;
C、在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧,故C不符合题意;
D、顶点在圆上,两边分别与圆还有另一个交点的角是圆周角,故D不符合题意;
故选:B.
【点评】本题考查了圆的认识,熟练掌握这些数学概念是解题的关键.
二.垂径定理(共3小题)
2.(2022秋•兰山区校级期中)如图,在半径为5的⊙O中,AB、CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且
AB=CD=8,则OP的长为()
A.3B.4C.3D.4
【分析】作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OB,OD,首先利用勾股定理求得OM的长,然后判定
四边形OMPN是正方形,求得正方形的对角线的长即可求得OM的长.
【解答】解:作OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,连接OB,OD,
由垂径定理、勾股定理得:OM=ON==3,
∵弦AB、CD互相垂直,
∴∠DPB=90°,
∵OM⊥AB于M,ON⊥CD于N,
∴∠OMP=∠ONP=90°
∴四边形MONP是矩形,
∵OM=ON,
∴四边形MONP是正方形,
∴OP=3
故选:C.
【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识,解题的关键是正确地作出辅助线.
3.(2022秋•平桥区期中)如图,AB是⊙O的直径,CD∥FG,FG⊥AB,CD,FG分别与AB相交于点E,
H,连接AC,AD.求证:AC=AD.
【分析】根据垂直定义可得∠FHB=90°,再利用平行线的性质可得∠CEB=∠FHB=90°,从而可得
CD⊥AB,然后利用垂径定理可得,从而可得AC=AD,即可解答.
【解答】证明:∵FG⊥AB,
∴∠FHB=90°,
∵CD∥FG,
∴∠CEB=∠FHB=90°,
∴AB⊥CD,
∵AB是⊙O的直径,
∴,
∴AC=AD.
【点评】本题考查了垂径定理,熟练掌握垂径定理是解题的关键.
4.(2022秋•襄州区期中)如图,CD为⊙O的直径,CD⊥AB,垂足为F,AO⊥BC,垂足为E,连接AC.
(1)求∠B的度数;
(2)若CE=4,求圆O的半径.
【分析】(1)根据垂径定理求出BE=CE,根据线段垂直平分线性质求出AB=AC,同理得AC=BC,则
△ABC是等边三角形,从而得结论;
(2)求出∠BCD=30°和OE=4,根据直角三角形中含30°角的性质求出圆O的半径即可.
【解答】解:(1)如图,
∵AO⊥BC,AO过O,
∴CE=BE,
∴AB=AC,
同理得:AC=BC,
∴AB=AC=BC
∴△ABC是等边三角形
∴∠B=60°;
(2)∵△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵AC=BC,CD⊥AB,
∴∠BCD=30°,
∵CE=4,
在Rt△CEO中,OE=4,
∴OC=2OE=8,
即圆O的半径为8.
【点评】本题考查了垂径定理,勾股定理,线段垂直平分线性质,等边三角形的性质和判定的应用,综
合运用性质进行推理和计算是解此题的关键,综合性比较强,难度适中.
三.圆心角、弧、弦的关系(共1小题)
5.(2022秋•邳州市期中)如图,AB、CD是⊙O的两条弦,∠AOC=∠BOD.求证:AB=CD.
【分析】根据等式的性质可得∠AOB=∠COD,然后根据圆心角、弧、弦的关系
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