中考数学二轮复习压轴题培优专练专题03 动点问题中三角形、四边形的存在性问题（原卷版） .doc

专题03动点问题中三角形、四边形的存在性问题

几何动态问题包括几何动点问题、几何线动问题和面动问题，本专题重点探究动点问题，线动和面动问题，将在图形变换专题中进行探究。

几何动点问题的考查面比较多，但总体看以考查点在几何图形中运动时产生的线段的数量关系和位置关系，角度关系以及三角形、四边形的存在性居多。线段和角度问题会在其他专题中进行分析，在这里只讨论三角形和四边形的存在性问题。

在解决几何动点问题中的三角形和四边形存在性问题时，一般有以下几种情况：

1.等腰三角形存在性问题：在解等腰三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用等腰三角形的概念，有2条边相等的三角形是等腰三角形，进行分类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。

2.直角三角形存在性问题：在解直角三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次结合几何图形的性质用x表达出三角形的各个边长，利用勾股定理的逆定理，同时进行分类讨论，找出等量关系，列出方程求解，在解出方程后注意要进行检验。

3.全等三角形存在性问题：在解全等三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各边长，最后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。

4.相似三角形存在性问题：在解相似三角形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各边长，然后找出或者用x表示出动态三角形的各边长，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。

5.平行四边形的存在性问题：在解平行四边形存在性问题时，通常设出由动点的运动而产生的处于不断变化的线段的长度为x，其次求出或者用x表示出平行四边形、矩形、菱形或正方形的其他各边的长度，最后利用平行四边形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要进行检验。

可见在解决此类问题时，关键是设出未知数x，并用x表示出各线段的长度，利用各几何图形的判定，列出方程进行求解，是此类题型的共性，但要注意，在解决此类问题时，要注意分类讨论。

（2022·山东枣庄·统考中考真题）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒SKIPIF10cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．

(1)如图①，若PQ⊥BC，求t的值；

(2)如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？

（1）根据勾股定理求出SKIPIF10，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

（2）作SKIPIF10于SKIPIF10，SKIPIF10于SKIPIF10，证明出SKIPIF10为直角三角形，进一步得出SKIPIF10和SKIPIF10为等腰直角三角形，再证明四边形SKIPIF10为矩形，利用勾股定理在SKIPIF10、SKIPIF10中，结合四边形SKIPIF10为菱形，建立等式进行求解．

【答案】(1)当t＝2时，PQ⊥BC

(2)当t的值为SKIPIF10时，四边形QPCP′为菱形

【详解】（1）解：（1）如图①，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，

∴AB＝SKIPIF10＝SKIPIF10（cm），

由题意得，AP＝SKIPIF10tcm，BQ＝tcm，

则BP＝（4SKIPIF10﹣SKIPIF10t）cm，

∵PQ⊥BC，

∴∠PQB＝90°，

∴∠PQB＝∠ACB，

∴PQSKIPIF10AC，

SKIPIF10，

SKIPIF10，

∴SKIPIF10＝SKIPIF10，

∴SKIPIF10，

解得：t＝2，

∴当t＝2时，PQ⊥B