中考数学二轮复习压轴题培优专练专题13 函数中的三角形、四边形存在性问题（原卷版） .doc

专题13函数中的三角形、四边形存在性问题

函数中三角形、四边形的存在性问题是中考中的常考点，考查内容主要包括等腰三角形、直角三角形、平行四边形、特殊的平行四边形以及三角形全等和相似的存在性。在解决此类问题时，首先要用坐标把三角形或四边形的边长表示出来（可以根据勾股定理），在设坐标时，通常只设一个未知数横坐标或者纵坐标，另一个坐标一般根据函数解析式进行表示，其次根据等腰三角形、直角三角形、平行四边形等的判定定理列出方程，并求出未知数。

（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），过点A作ACSKIPIF10x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．

(1)求抛物线的关系式；

(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；

(3)将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；

(4)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（1）利用待定系数法可得抛物线的解析式；

（2）过P作PGSKIPIF10y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），根据OE的解析式表示点G的坐标，表示PG的长，根据面积和可得△OPE的面积，利用二次函数的最值可得其最大值；

（3）求出原抛物线的对称轴和顶点坐标以及对称轴与OE的交点坐标、与AE的交点坐标，用含h的代数式表示平移后的抛物线的顶点坐标，列出不等式组求出h的取值范围；

（4）存在四种情况：作辅助线，构建全等三角形，证明△OMP≌△PNF，根据|OM|＝|PN|，列方程可得点P的坐标；同理可得其他图形中点P的坐标．

【答案】(1)抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3

(2)P点坐标为（SKIPIF10，SKIPIF10）

(3)h的取值范围为3≤h≤4

(4)存在，点P的坐标是（SKIPIF10，SKIPIF10）或（SKIPIF10，SKIPIF10）或（SKIPIF10，SKIPIF10）或（SKIPIF10，SKIPIF10）

【详解】（1）解：∵抛物线L：y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，3），B（1，0），

∴SKIPIF10，

解得SKIPIF10，

∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；

（2）如图1，过P作PGSKIPIF10y轴，交OE于点G，

设P（m，m2﹣4m+3），

∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，

∴∠AOE＝45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝3，

∴E（3，3），

设直线OE的解析式为y＝kx，把点（3，3）代入得，

3＝3k，

解得k＝1，

∴直线OE的解析式为：y＝x，

∴G（m，m），

∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，

∴S△OPE＝S△OPG+S△EPG

SKIPIF10PG?AE

SKIPIF103×（﹣m2+5m﹣3）

SKIPIF10（m2﹣5m+3）

SKIPIF10（mSKIPIF10）2SKIPIF10，

∵SKIPIF100，

∴当mSKIPIF10时，△OPE面积最大，

此时m2﹣4m+3＝SKIPIF10，

∴P点坐标为（SKIPIF10，SKIPIF10）；

（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），

抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．

设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则N（2，3），如图2，

∵直线OE的解析式为：y＝x，

∴M（2，2），

∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），

∴2≤﹣1+h≤3，

解得3≤h≤4；

（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：

①当P在