中考数学二轮复习压轴题培优专练专题18 转化的数学思想在压轴题中的应用（解析版） .doc

专题18转化的数学思想在压轴题中的应用

转化思想在数学压轴题中应用比较广泛，例如在几何压轴题中，多应用转化思想，具体表现为利用平移、旋转、翻折、全等等图形变换或者等量变换将未知的问题转化为已知问题，将复杂的问题转化为简单的问题。

（2022·山东烟台·统考中考真题）

(1)【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

(2)【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出SKIPIF10的值．

(3)【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且SKIPIF10＝SKIPIF10＝SKIPIF10．连接BD，CE．

①求SKIPIF10的值；

②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．

（1）证明△BAD≌△CAE，从而得出结论；

（2）证明△BAD∽△CAE，进而得出结果；

（3）①先证明△ABC∽△ADE，再证得△CAE∽△BAD，进而得出结果；

②在①的基础上得出∠ACE＝∠ABD，进而∠BFC＝∠BAC，进一步得出结果．

【答案】(1)见解析

(2)SKIPIF10

(3)①SKIPIF10；②SKIPIF10

【详解】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，

∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°，

∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD＝CE；

（2）解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，

SKIPIF10，∠DAE＝∠BAC＝45°，

∴∠DAE﹣∠BAE＝∠BAC﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD∽△CAE，

SKIPIF10；

（3）解：①SKIPIF10，∠ABC＝∠ADE＝90°，

∴△ABC∽△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，SKIPIF10，

∴∠CAE＝∠BAD，

∴△CAE∽△BAD，

SKIPIF10；

②由①得：△CAE∽△BAD，

∴∠ACE＝∠ABD，

∵∠AGC＝∠BGF，

∴∠BFC＝∠BAC，

∴sin∠BFCSKIPIF10．

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．

（2022·山东潍坊·中考真题）【情境再现】

甲、乙两个含SKIPIF10角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处，将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接SKIPIF10，如图③所示，SKIPIF10交SKIPIF10于E，SKIPIF10交SKIPIF10于F，通过证明SKIPIF10，可得SKIPIF10．

请你证明：SKIPIF10．

【迁移应用】

延长SKIPIF10分别交SKIPIF10所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明SKIPIF10与SKIPIF10的位置关系．

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含SKIPIF10角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接SKIPIF10，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明SKIPIF10与SKIPIF10的数量关系．

证明SKIPIF10，即可得出结论；通过SKIPIF10，可以求出SKIPIF10，得出结论SKIPIF10；证明SKIPIF10，得出SKIPIF10，得出结论；

【答案】证明见解析；垂直；SKIPIF10

【详解