中考数学二轮复习压轴题培优专练专题19 方程思想在压轴题中的应用（原卷版） .doc

专题19方程思想在压轴题中的应用

方程思想在中考压轴题中的应用非常广泛，主要表现在几何压轴题中的动点问题，几何、函数压轴题中的存在性问题以及面积问题和相似问题等。通过设出未知数，并用未知数表示出各线段的长度，再根据勾股定理、相似三角形的性质以及各几何图形的判定，列出方程，进行求解。

（2022·上海·统考中考真题）平行四边形SKIPIF10，若SKIPIF10为SKIPIF10中点，SKIPIF10交SKIPIF10于点SKIPIF10，连接SKIPIF10．

(1)若SKIPIF10，

①证明SKIPIF10为菱形；

②若SKIPIF10，SKIPIF10，求SKIPIF10的长．

(2)以SKIPIF10为圆心，SKIPIF10为半径，SKIPIF10为圆心，SKIPIF10为半径作圆，两圆另一交点记为点SKIPIF10，且SKIPIF10．若SKIPIF10在直线SKIPIF10上，求SKIPIF10的值．

（1）①连接AC交BD于O，证△AOE≌△COE(SSS)，得∠AOE=∠COE，从而得∠COE=90°，则AC⊥BD，即可由菱形的判定定理得出结论；

②先证点E是△ABC的重心，由重心性质得BE=2OE，然后设OE=x，则BE=2x，在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,从而得9-x2=25-9x2，解得：x=SKIPIF10,即可得OB=3x=3SKIPIF10，再由平行四边形性质即可得出BD长；

（2）由⊙A与⊙B相交于E、F，得AB⊥EF，点E是△ABC的重心，又SKIPIF10在直线SKIPIF10上，则CG是△ABC的中线，则AG=BG=SKIPIF10AB，根据重心性质得GE=SKIPIF10CE＝SKIPIF10AE，CG=CE+GE=SKIPIF10AE，在Rt△AGE中，由勾股定理，得AG2=AE2-GEE=AE2-(SKIPIF10AE)2=SKIPIF10AE2,则AG=SKIPIF10AE,所以AB=2AG=SKIPIF10AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=SKIPIF10AE2+（SKIPIF10AE）2=5AE2，则BC=SKIPIF10AE，代入即可求得SKIPIF10的值．

【答案】(1)①见解析；②SKIPIF10

(2)SKIPIF10

【详解】(1)①证明：如图，连接AC交BD于O，

∵平行四边形SKIPIF10，

∴OA=OC，

∵AE=CE，OE=OE，

∴△AOE≌△COE(SSS)，

∴∠AOE=∠COE，

∵∠AOE+∠COE=180°，

∴∠COE=90°，

∴AC⊥BD，

∵平行四边形SKIPIF10，

∴四边形SKIPIF10是菱形；

②∵OA=OC，

∴OB是△ABC的中线，

∵SKIPIF10为SKIPIF10中点，

∴AP是△ABC的中线，

∴点E是△ABC的重心，

∴BE=2OE，

设OE=x，则BE=2x，

在Rt△AOE中，由勾股定理，得OA2=AE2-OE2=32-x2=9-x2,

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2=AB2-OB2=52-(3x)2=25-9x2,

∴9-x2=25-9x2，

解得：x=SKIPIF10,

∴OB=3