2024年俄罗斯第50届数学奥林匹克竞赛决赛试题真题（含答案详解） (2).pdf

2024年第50届奥林匹克决赛竞赛数学试卷（俄罗斯）

1、别佳和瓦夏只知道不超过109—4000的正整数.别佳把可以表示为形式abc+ab+ac+bc的

数叫做好数，其中Q,b,c都是不小于100的正整数.而瓦夏把可以表示为形式Xyz-%-y-z的

数叫做好数，其中x,y,z都是大于100的正整数.谁的好数更多？

2、某正整数刚好有50个正约数.试问，它的任何两个正约数的差能否都不是100的倍数？

3、两个男孩每人得到一口袋土豆，每人的口袋里都有150颗土豆.两人依次交换土豆，每人每次

都从自己的口袋里取出非零个土豆放入对方的口袋.在此过中他们必须遵守“新可能性条件:

每一次他们每个人所拿出的土豆数目都要多于此前他的任何一次行动前口袋里所有的土豆数目

（如果此前他有过行动）.意即，每人的第一次都可以拿出任意非零颗土豆.而在第5次行动时，

男孩可以拿出200颗土豆，如果在他的第一，第二，第三和第四次行动前，口袋里的土豆数目都少

于200颗.试问，两个男孩最多一共可以行动多少次？

4、设ABCD是圆内接四边形，有ZA+ZD=90°.它的两条对角线相交于点直线［分别与线

段AB,CD,和ED相交于点X,匕Z和T.今知XZ=CE,BE=DT.证明，线段XK等于△

ETZ的外接圆直径.

5、今有一个10x10方格正方形广场.新年之夜突然降起了大雪，从那时起，每天夜晚在每个方

格里的降雪深度都有iocm,并且都只在夜晚降雪.每个早晨，清洁工都挑选一行（或一列）方格,

把里面的积雪清扫到相邻的行（或列）里（每个方格里的积雪清扫到依边相邻的方格里）.例如,

他可以选择第七列方格，把其中每个方格里的积雪都铲到左邻的方格里.不允许把积雪铲到正方

形广场以外.该年的第一百天的傍晚将会到来一位检查员，他要找出积雪堆得最厚的方格.清洁

工则力争使该高度达到最小.试问，检查员可以看到多高的雪堆？（译者注：俄罗斯冬季寒冷，

在这一百天内积雪都不会融化.）

6、在△ABC中有ABV/C,分别以H和。记它的垂心和外心，以Q记它的外接圆.线段。〃与八

BHC的外接圆相交于点X,点X与。和H都不重合.AAOX的外接圆与圆Q的劣弧扁相交于点

r.证明，直线xv平分线段bc.

7、黑板上写着8个二次三项式，其中任何两个的和都不是零多项式.现知，如果从中任意选出两

个多项式i（x）和g«），那么剩下的六个多项式都可以如此来称呼为。3（工），所⑴，…，98（%）,

使得913）+。2（%），。3（、）+。4（工），。5（、）+。6（%）和。7（、）+伽3）这四个多项式有公共根.试

问，所有八个多项式是否一定有公共根？

8、1000个身高互不相等的孩子站成一队.称两个不同孩子构成的对子（/幻是好的，如果在他们

之间没有站着比Q,b之一高而比另一个矮的孩子.试问，最多可能有多少个好的对子？（对子

（口,幻与对子（饥Q）视为相同的.）

9、设P与q是两个不同的质数.给定一个递降的无穷等差数列，其中含有项p23,p24,/3和

q24.证明，在该数列中必然会有等于p和q的项.

10、设有奇数n3.在2nx2打方格表中涂黑2（n-l）2个方格.试问，最多可以剪出多少个由三

个未涂黑方格构成的角状形？

11、给定正整数71.伊利亚想出两个不同的实系数打次多项式.萨沙也想出两个不同的实系数71次多

项式.廖娘知道71是多少，她的目的是弄清楚伊利亚和萨沙的多项式对是否相同.为此，廖娘选择

了k个实数x±x2-xk并把它们告诉二人.作为答复，伊利亚填写了一张2X/C表格，对于

每个，=1,2,…，k,他在第i列的两个方格里分别填写P3D，Q3D（两个数的填写顺序不确

定），其中P和Q是他所想出来的两个多项式.萨沙的做法类似.试问，对于怎样的最小的k,廖

娘能够有把握达到目的？

12、给定凸四边形ABCD,其中有ZA+ZD=90°.它的两条对角线相交于点直线］分别与

线段刀B,CD,和ED相交于点X,Y,Z和T.今知AZ=CE,BE=DT.证明，线段XV的长度

不大于△ETZ的外接圆直径.

13、今有一条笔直的道路，沿路排列着小房子，有的是红房子，有的是绿房子，红绿房子交替排

列（道路被房子分成一个个红段和绿段），并且开头与结尾都是绿房子.每一座