人教版数学九年级上册第二十三章《旋转》知识点.docx

人教版数学九年级上册第二十三章《旋转》知识点

一、旋转

1.1、旋转及其相关概念

1、定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.

2、旋转的“三要素”：旋转中心、旋转方向和旋转角。

（1）在旋转的过程中，旋转中心可以在图形的内部，也可在图形的外部，也可以是图形上的某点；

（2）旋转方向有顺时针和逆时针两种.

3、对应元素

旋转得到的图形能与原图形重合，我们把能够重合的点叫做对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合角叫做对应角。

2.1、旋转的性质

1、对应点到旋转中心的距离相等；

2、对应点与旋转中所连线段的夹角等于旋转角；

3、旋转前、后的图形全等.

提醒：旋转中心是两对对应点所连线段垂直平分线的交点。

3.1、旋转作图

1、作图依据：旋转的性质，即对应点到旋转中心的距离相等，每组对应点都旋转了相同的角度.

2、旋转作图的一般步骤：

（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角；

（2）找出图形的关键点，一般是图形中的转折点；

（3）作旋转后的对应点，方法如下：

a、连：链接图象的每个关键点与旋转中心；

b、转：把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同角度；

c、截：在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点

（4）按原图的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形；

（5）写出结论，说明做出的图形即为所作的图形.

二、中心对称

2.1、中心对称相关概念

1、定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能够重合的对应点叫做关于对称中心的对称点.

2、中心对称与轴对称的关系

2.2、中心对称性质

1、性质

（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；反之，如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点中心对称，利用这一性质可以识别中心对称；

（2）中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等.

2、确定对称中心的方法

方法一：连接任意一对对称点，确这条线段的中点，则该中点为对称中心；

方法二：任意连接两对对称点，这两条线段的交点就是对称中心.

3、性质延伸

（1）对称中心在一对对称点的连线上；

（2）对称中心到一对对称点的距离相等.

4、全等的图形不一定成中心对称，而成中心对称的两个图形一定是全等的图形.

2.3、中心对称作图

1、作图关键

确定对称中心，再作出原图上关键点关于对称中心的对称点.

2、作图步骤

（1）分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接；

（2）将以上连接延长线找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；

（3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形.

三、中心对称图形

3.1、中心对称图形的定义

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.

3.2、中心对称图形的性质

1、中心对称图形上的对称点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，即过对称中心的直线与中心对称图形所交的两个点是对称点；中心对称图形上所有的点关于对称中心的对称点都在这个图形上.

2、过对称中心的任意一条直线把中心对称图形分成了全等的两个部分.

3.3、中心对称与中心对称图形的区别和联系

1、区别：

中心对称：

（1）针对的是两个图形而言；

（2）是指两个图形的位置关系；

（3）对称点在两个图形上；

中心对称图形：

（1）针对一个图形而言；

（2）是指具有某种性质的一个图形；

（3）对称点在一个图形上.

2、联系

（1）若把中心对称的两个图形视为一个整体，则整个图形是中心对称图形；

（2）若把中心对称图形互相对称的两个部分看作是两个图形，则这两个图形成中心对称.

3.4、常见的中心对称图形

线段、平行四边形、矩形、菱形、边数为偶数的正多边形、圆等

四、关于原点对称点的坐标

1、关于原点对称的点的坐标

两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标分别互为相反数，即点P(x,y)关于原点的对称点的坐标P′(-x,-y).

2、关于坐标轴对称和关于原点对称的点的坐标的区别

（1）关于x轴对称

横坐标相同，纵坐标互为相反数，即P(a,b)关于x轴对称的对称点P′(a,-b)

（2）关于y轴对称

横坐标互为相反数，纵坐标相同，即P(a,b)关于x轴对称的对称点P′(-a,b)

（3）关于原点对称

横、纵坐标互为相反数，即P(a,b)关于原点的对称点的坐标P′(-a,-b).

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