6.2排列与组合(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册.pdfVIP

排列与组合

一排列概念的理解

1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫

从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_完全相同；(2)元素的排

列顺序也相同．

注意点：

(1)要求m≤n.

(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．

二画树状图写排列

利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略

(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．

(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，

再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能到不重不漏，

然后再按树状图写出排列．

三简单的排列问题

要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和

n(m≤n)个不同的位置各是什么．

四排列数公式

1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫从n个不同

m

元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示．

n

n！

m*

2．排列数公式：A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n(n，m∈N，m≤n)．

n－m！

3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫n个元素的一个全排列．

正整数1到n的连乘积，叫n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写

成Ann＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.

规定：0！＝1.

注意点：

(1)乘积是m个连续正整数的乘积；

(2)第一个数最大，是A的下标n；

(3)第m个数最小，是n－m＋1.

五利用排列数公式化简与证明

排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时

注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．

六排列数公式的简单应用

对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．情况较多的情形，可以进

行分类后进行．

七元素的在与不在问题

“”“”

解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．

排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元

素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”

原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．

相邻与不相邻问题

“”“”

处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑

法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干

个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全

排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．

九定序问题

在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有

两个：

(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m

＋

＋n)个元素排成一列，有Amn种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置

mn

＋

不动，把这m个元素交换顺序，有Am种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有

m

＋

Amn

mn

＋种满足条件的不同排法；

Am

m

(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然

后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空