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四点共圆练习
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四点共圆
判定定理1:若两个直角三角形共斜边,则四个顶点共圆,且直角三角形的斜边为圆的直径.
判定定理2:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边的同侧,则四个顶点共圆.
判定定理3:对于凸四边形ABCD,若对角互补,则A、B、C、D四点共圆.
判定定理4:相交弦定理的逆定理:对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于P,
若PA·PC=PB·PD,则A、B、C、D四点共圆。
判定定理5:割线定理的逆定理:对于凸四边形ABCD两边AB、DC的延长线相交于P,
若PB·PA=PC·PD,则A、B、C、D四点共圆。
1:如图,在圆内接四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=90°,AB=2,CD=1,求BC的长
2:如图,正方形ABCD的面积为5,E、F分别为CD、DA的中点,BE、CF相交于P,
求AP的长
4:如图,OQ⊥AB,O为△ABC外接圆的圆心,F为直线OQ与AB的交点,BC与OQ交于P点,A、C、Q三点共线,求证:OA2=OP·OQ
5:如图,P是⊙O外一点,PA与⊙O切于点A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D,
求证:PB:BD=PC:CD
6:如图,直线AB、AC与⊙O分别相切于B、C两点,P为圆上一点,P到AB、AC的距离分别为6cm、4cm,求P到BC的距离
7:在半⊙O中,AB为直径,直线CD交半圆于C、D,交AB延长线于M(MBMA,ACMD),设K是△AOC与△DOB的外接圆除点O外的另一个交点,求证:∠MKO=90°
8:如图,在圆内接四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,AC=a,求:四边形ABCD的面积(用a表示)
一、选择题
1、设ABCD为圆内接四边形,现给出四个关系式:(1)sinA=sinC;(2)sinA+sinC=0;(3)cosB+cosD=0;(4)cosB=cosD;其中总能成立的关系式的个数是()
A、一个;B、两个;C、三个;D、四个;
2、下面的四边形有外接圆的一定是()
A、平行四边形;B、梯形;C、等腰梯形;D、两个角互补的四边形;
3、四边形ABCD内接于圆,∠A:∠B:∠C=7:6:3,则∠D等于()
A、36o;B、72o;C、144o;D、54o;
4、如图1,在四边形ABCD中,AB=BC=AC=AD,AH⊥CD于H,CP⊥BC交AH于P,若,AP=1,则BD等于()
A、;B、2;C、3;D、;
5、对于命题:①内角相等的圆内接五边形是正五边形;
②内角相等的圆内接四边形是正四边形。以下四个结论
中正确的是()
A、①,②都对;B、①对,②错;C、①错,②对;D、①,②都错;
二、填空题
6、如图2,△ABC中,∠B=60o,AC=3cm,则△ABC的外接圆半径为。
7、如图3,△ABC中,∠ACB=65o,BD⊥AC于D,CE⊥AB于E,则∠AED=,∠CED=。
8、如图4,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,延长AD交△ABC的外接圆于E,已知AB=,BD=,BE=,则AE=,DE=。
9、如图5,正方形ABCD的中心为O,面积为1989,P为正方形内一点,且∠OPB=45o,PA:PB=5:14,则PB=。
10、如图6,四边形ABCD内接于以AD为直径的圆中,若AB和BC的长度各为1,,那么AD=。
三、解答题
11、如图7,在△ABC中,AD为高线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。
求证:B、C、F、E四点共圆。
12、如图9,AB为圆的直径,AD、BC为圆的两条弦,且BD与AC相交于E。
求证:AC·AE+BD·BE=AB2。
13、如图,圆O的直径为5,在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P,已知BC:CA=4:3,点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合),过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)求证:AC·CD=PC·BC;
(2)当点P运动到AB弧中点时,求CD的长;
(3)当点P运动到什么位置时,△PCD的面积最大?并求出这个最大面积S。
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