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2017年全国高中数学联赛（A卷）

一试试题

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.设是定义在上的函数，对任意实数有．又当时，，则的值为．

2.若实数满足，则的取值范围是．

3.在平面直角坐标系中，椭圆的方程为，为的上焦点，为的右顶点，是上位于第一象限内的动点，则四边形的面积的最大值为．

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过，则称其为“平稳数”．平稳数的个数是．

5.正三棱锥中，，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为．

6.在平面直角坐标系中，点集．在中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为的概率为．

7.在中，是边的中点，是线段的中点．若，的面积为，则的最小值为．

8.设两个严格递增的正整数数列，满足：，对任意正整数，有，则的所有可能值为．

二、解答题（共56分）

9.（16分）设为实数，不等式对所有成立．证明：．

10.（20分）设是非负实数，满足，求

的最小值和最大值．

11.（20分）设复数满足，且（其中表示复数的实部）．

求的最小值；

求的最小值．

一试解答

1.提示：由条件知，，所以

．

2.提示：由于

，

故．

由可知，

．

因此当时，有最小值（这时可以取）；当时，有最大值（这时可以取）．由于的值域是，从而的取值范围是．

3.提示：易知．设的坐标是

，则

．

其中．当时，四边形面积的最大值为．

4.提示：考虑平稳数．

若，则，有个平稳数．

若，则，有个平稳数．

若，则，有个平稳数．

若，则，有个平稳数．

综上可知，平稳数的个数是．

5.提示：设的中点分别为，则易证平面就是平面．由中线长公式知

，

所以

．

又易知直线在平面上的射影是直线，而，所以

，

故棱与平面所成角的余弦值为．

6.提示：易知中有9个点，故在中随机取出三个点的方式数为种．

将中的点按右图标记为，其中有对点之间的距离为．由对称性，考虑取两点的情况，则剩下的一个点有种取法，这样有个三点组（不计每组中三点的次序）．对每个，中恰有两点与之距离为（这里下标按模理解），因而恰有这个三点组被计了两次．从而满足条件的三点组个数为，进而所求概率为．

7.提示：由条件知，

，，

故

．

由于

，

所以，进一步可得，从而

．

当时，的最小值为．

8.提示：由条件可知：均为正整数，且．

由于，故．反复运用的递推关系知

，

因此

，

而，故有

． ①

另一方面，注意到，有，故

． ②

当时，①，②分别化为，无解．

当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．

当时，①，②分别化为，得到唯一的正整数，此时．

综上所述，的所有可能值为．

9.令，，则．于是

， ①

， ②

． ③

由①②③知，

，

故．

10.由柯西不等式

，

当时不等式等号成立，故欲求的最小值为1．

因为

，

当时不等式等号成立，故欲求的最大值为．

11.对，设．由条件知

．

因此

．

又当时，．这表明，的最小值为．

对，将对应到平面直角坐标系中的点，记是关于轴的对称点，则均位于双曲线的右支上．

设分别是的左、右焦点，易知．

根据双曲线的定义，有，进而得

，

等号成立当且仅当位于线段上（例如，当时，恰是的中点）．

综上可知，的最小值为．

加试试题

一、（40分）如图，在中，，为的内心．以为圆心，为半径作圆，以为圆心，为半径作圆，过点、的圆与、分别交于点、（不同于点）．设与交于点．

证明：．（答题时请将图画在答卷纸上）

二、（40分）设数列定义为，

．

求满足的正整数的个数．

三、（50分）将方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的