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专题9.8三角形中位线(知识解读)
【学习目标】
1.理解并掌握三角形中位线的概念、性质,会利用性质解决有关问题。
2.经历探索三角形中位线性质的过程,培养学生分析问题和解决问题的能力。
3.通过对问题的探索研究,培养学生大胆猜想、合理论证的科学精神
【知识点梳理】
知识点1:三角形的中位线
1.连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
注意:
(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的,每个小三角形的面积为原三角形面积的.
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
知识点2:顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状
顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.
【典例分析】
【考点1:三角形中位线】
【典例1】(2022春?东平县校级月考)如图,在ABC中,AB=13,BC=12,D、E分别是AB、BC的中点,连接DE,CD,如果DE=2.5,那么△ACD的周长为()
A.25 B.18.5 C.17.5 D.18
【变式1-1】(2022春?鼓楼区校级期中)如图,A、B两点被一座山隔开,M、N分别是AC、BC中点,测量MN的长度为30m,那么AB的长度为()
A.30m B.60m C.120m D.160m
【变式1-2】(2022秋?双阳区期末)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线,E、F分别为AC、AD的中点,若EF=1,则AB=.
【变式1-3】(2022秋?新城区校级月考)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,CD为中线,延长CB至点E.使BE=BC,连接DE,F为DE中点,连接BF,若BF=4,则BC的长为()
A.6 B.8 C. D.
【典例2】(2022秋?泰山区校级期末)如图,△ABC中,AB=9cm,AC=5cm,点E是BC的中点,若AD平分∠BAC,CD⊥AD,线段DE的长为()
A.1cm B.2cm C.3cm D.4cm
【变式2-1】(2019秋?碑林区校级月考)如图,在△ABC中,已知AB=6,AC=10,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,E为BC中点,连接DE,则DE的长是()
A.1 B.1.5 C.2 D.4
【变式2-2】(2021秋?芝罘区期末)如图,在△ABC中,AB=6,AC=4,AD,AE分别是角平分线和中线,过点C作CF⊥AD于点F,连接EF,则线段EF的长为()
A.1 B.2 C.4 D.
【变式2-3】(2022?黑龙江模拟)如图,在△ABC中,CE是中线,CD是角平分线,AF⊥CD交CD延长线于点F,AC=7,BC=4,则EF的长为()
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
【典例3】(2022秋?莱阳市期末)如图,在△ABC中,点D,E分别是AC,AB的中点,点F是CB延长线上一点,且CF=3BF,连接DB,EF.若∠ACB=90°,AC=12,DE=4.
(1)求证:DE=BF;
(2)求四边形DEFB的周长.
【变式3-1】(2022春?瑶海区期末)已知:如图,在△ABC中,点D、E分别是AB、AC的中点
(1)若DE=2,则BC=;若∠ACB=70°,则∠AED=°;
(2)连接CD和BE交于点O,求证:CO=2DO.
【变式3-2】(2020秋?莱芜区期末)如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,AC,BC的中点.
(1)若EF=5cm,则AB=cm;若BC=9cm,则DE=cm;
(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系?证明你的猜想.
【变式3-3】(2021秋?宝塔区校级期末)如图,△ABC中,AB=AC,BE⊥AC于E,且D、E分别是AB、AC的中点,延长BC至点F,使CF=CE,连接DE,EF.
(1)求∠ABC的度数;
(2)若DE=2,求△CEF的面积.
【考点2:中点四边形】
【典例4】(2022秋?郸城县期中)如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点.
(1)若AB=10,CD=24,∠ABD=30°,∠BDC=120°,求EF的长.
(2)若∠BDC﹣∠ABD=90°,求证:AB2+CD2=4EF2.
【变式4-1】(2022秋?安溪县期中)在四边形ABCD中,AB=CD,点E,F分别是边AD,BC的中点.
(1)如图1,点P为对角线BD的中点,连接PE,PF,若∠PEF=26°,则∠EPF=度;
(2)如图2,直线EF分别与BA,CD的延长线交于点M,N.求证:∠BMF=∠CNF.
【变式4-2】
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