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数学
注意事项:
1.本试卷共6页.全卷满分120分.考试时间为120分钟.
2.答选择题必须用2B铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑.如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上的指定位置,在其他位置答题一律无效.
3.作图必须用2B铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.
一、选择题(本大题共6小题,每小题2分,共12分,在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的)
1.没有稳固的国防,就没有人民的安宁,2023年,中国国防预算约为15537亿元,将15537亿元用科学记数法表示为()
A. B. C. D.
2.下列计算结果是a5的是()
A.a2+a3 B.a10÷a2 C.(a2)3 D.a2·a3
3.若有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示,则化简的结果是()
A. B. C. D.
4.以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放,量角器的刻度线与斜边重合.点为斜边上一点,作射线交弧于点,如果点所对应的读数为,那么的大小为()
A. B. C. D.
5.在中,,以点A为顶点作三角形(阴影部分),使这个三角形与相似,且相似比为,根据下列选项图中标注的条件,不符合要求的作图是()
A B. C. D.
6.如图,中,,在的同侧作正,正和正,则四边形面积最大值是()
A.1 B.2 C. D.
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
7.一个数的相反数是,则这个数的倒数是______.
8.若代数式有意义,则x的取值范围是________.
9.因式分解:______.
10.=______.
11.设,是一元二次方程的两个根,且,则________.
12.一个圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥母线长与底面半径的比值为__________.
13.如图,在正五边形中,连接交于点,则的度数为___________.
14.已知点为函数图象上一点,点为该函数图象上不与点重合的另一个点,且满足,则所有可能的点的坐标为_______.
15.为菱形边上的高,将沿翻折得到,与相交于点.若,那么,________.
16.已知二次函数与x轴有两个交点,把当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,图象的其余部分不变,得到一个新图象,若新图象与直线有三个不同的公共点,则m的值为______.
三、解答题(本大题共11小题,共88分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.计算与化简:
(1)计算:cos30°;
(2)化简:
18.解不等式组:,并写出该不等式组所有的整数解.
19.甲,乙两地相距,两人分别从甲地乘早7时出发的普通客车和早8时15分出发的豪华客车去乙地,两车恰好同时到达.已知豪华客车与普通客车的平均速度的比是,两车的平均速度分别是多少?
20.武侯区某学校开展了该校八年级部分学生的综合素质测评活动,随机选取了该校八年级的50名学生进行测评,统计数据如下表:
测评成绩(单位:分)
80
85
90
95
100
人数
5
10
10
20
5
(1)这50名学生测评成绩的平均数是分,众数是分,中位数是分,方差是分2;
(2)若该校八年级共有学生300名,测评成绩在90分以上(包含90分)为优秀,试估计该校八年级优秀学生共有多少名?
21.把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数,例如:如图摆放的算珠表示数210.
(1)若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上,则构成的数是三位数的概率是;
(2)若一个数正读与反读都一样,我们就把这个数叫做回文数.现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上,先放一颗算珠,再放另一颗,请用列表或画树状图的方法,求构成的数是三位数且是回文数的概率.
22.如图,△ABC中,CD是边AB上的高,且.
(1)求证:△ACD∽△CBD;
(2)求∠ACB的大小.
23.如图,在一座建筑物CM上,挂着“美丽泰兴”的宣传条幅AC,在建筑物的A处测得地面上B处的俯角为30°,测得D处的俯角为45°,其中点A、B、C、D、E在同一铅垂面内,B、C、D在一条直线上,,求宣传条幅AC长.请你从下面的三个条件:①BD=50米;②D到AB的距离为25米;③AM=20米.选择一个能解决上述问题的条件填到上面的横线上(填序号),并解决该问题(结果保留根号).
24.如图,在中,,点D为边上一点.
(1)尺规作图:在边上找一点E,使得.
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