专题4.5 因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）（浙教版）（解析版）.docxVIP

专题4.5因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）

【浙教版】

TOC\o1-3\h\u

【题型1利用整体思想分解因式】 1

【题型2利用拆项法分解因式】 6

【题型3利用添项法分解因式】 8

【题型4利用因式分解的结果求参数】 10

【题型5利用因式分解进行有理数的简算】 12

【题型6利用因式分解探究三角形形状】 14

【题型7与因式分解有关的探究题】 16

【题型8因式分解的应用】 22

【题型1利用整体思想分解因式】

【例1】（2024七年级下·山东东营·期中）[阅读材料]

因式分解：x+

解：将“x+y”看成整体，令x+

再将“A”还原，原式=x

上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．

[问题解决]

(1)因式分解：1+4x

(2)因式分解：x2

(3)证明：若n为正整数，则代数式n+1

【答案】(1)1+2

(2)x

(3)见解析

【分析】（1）用换元法设x-y=A，将原式化为1+4A+4A

（2）设x2-6x=B

（3）先计算n+1

【详解】（1）解：令x-

原式=1+4

=

=1+2

（2）令x2

则x

=

=

=

=

=x

（3）n

=

=

=n

∵n为正整数，

∴n2

∴n+1

即代数式n+1

【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．

【变式1-1】（2024七年级下·山西运城·期中）（1）2a

（2）a-

【答案】（1）3(a+b)(a

【分析】（1）设A=2a+

（2）设N=a-

【详解】解：（1）设A=2

则原式=A

将A,B换回去得：原式

=(3a

=3(a

（2）设N=

则原式=N

=N

=(

将N换回去得：原式=(

【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．

【变式1-2】（2024七年级下·福建漳州·期中）(1)因式分解：x2

(2)因式分解：x+

(3)求证：多项式x+1

【答案】(1)（1）x

(2)x

(3)见解析

【详解】（1）解：解法一：设x2

则原式=y

=

=

=

=x

方法二：设x2

则原式=

=

=

=

=

=x

（2）解：设x+

则原式=

=

=

=

=

=

=x

（3）解：x

=x

设x2

则原式=

=

=

=x

∵x2

∴x+1

∴多项式x+1

【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．

【变式1-3】（2024七年级下·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式(a2+2a)(a2+2a+2)+1进行因式分解的解题思路：将“a2+2a”

解：设a2+2a

=x

=(

=a

问题：

(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；

②请你模仿以上方法尝试对多项式a2

(2)请你模仿以上方法尝试计算：

(1-2-3-?-2023)×(2+3+?+2024)-(1-2-3-?-2024)×(2+3+?+2023)．

【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为(a+1)4

(2)2024

【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．

（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；

②利用换元法进行因式分解即可；

（2）设a=1-2-3-?-2023，x=2+3+?+2024，则原式

【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；

设a2+2a

=x

=(

=a

=

=(

∴最后的结果为(a

②设a2

原式=

=x

=

=

=(

（2）设a=1-2-3-?-2023，x

则1-2-3-?-2023-2024=a

a+

原式=

=

=2024×2025-

=2024×(2024+1)-

=

=2024．

【题型2利用拆项法分解因式】

【例2】（2024七年级下·山东济宁·期中）观察下面因式分解的过程：

x

=

=

=

上面因式分解过程的第一步把2x2拆成了

(1)a2

(2)x4

【答案】(1)a

(2)x

【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．

（1）将-8拆成1-9

（2）将-23x2

【详解】（1）解：a

=

=

=

=

=a

（2）解：x

=

=

=

=x

【变式2-1】（2024七年级下·陕西榆林·期中）(1)分解因式：x2

(2)分解因式：a2

【答案】(1)x

(2)a

【分析】（1）将5拆解成9-4，再根据完全平方公式得x-

（2）将-5b2拆解成4

【详解】（1）原式=x2-6x+9-4

（2）原式=a2+4ab+4b

【点睛】本题考查了因式