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2022年上海长宁区上海市复旦初级中学自主招生数学试卷

1、已知x=2?3，则x?3x

2、不等式组3x+1442x?94x+6?3x+7

3、抛物线y=a(x?3)2?1经过点(2,1)，将该抛物线向上平移???????????

4、2022年冬奥会吉祥物为“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物为“雪容融”．现有三张正面印有吉祥物的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，其中两张正面印有冰墩墩图案，一张正面印有雪容融图案，将三张卡片正面向下洗匀，小冬从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片．则小明抽出的两张卡片是不同图案的概率是????????????．

5、在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，点D在边BC上，点P满足PA⊥AD，在线段AP上取点E，在DA的延长线上取点

(1)如图（a），当点P恰落在边AB上时，CDBP的值为???????????

(2)如图（b），当点P恰落在线段AB的垂直平分线上（且不在边AB）时，ACBP的值为???????????

6、在平面直角坐标系xOy中，点4,3在抛物线y=ax

(1)若m0，且当2?m?x?2+2m时y的取值范围是?1?y?3．则：

①a的值为????????????；

②b的值为????????????；

③抛物线的表达式为（?）（多选）

A．y=

B．y=

C．y=

D．y=

④m的值为????????????．

(2)在（1）的条件下，是否存在实数n，使得当n?2xn时，y的取值满足3n?3y3n+5？若存在，求出n的值并简要说明理由；若不存在，也简要说明理由．

1、【答案】22

【解析】x?3

2、【答案】1?x10;

【解析】3x+144

3、【答案】1;

【解析】将(2,1)代入y=a(x?3)

可得a=2，

即y=2(x?3)

将该曲线向上平移1单位后与x轴有1个公共点．

4、【答案】49

【解析】1?1

5、【答案】(1)12

(2)3+1

【解析】(1)作AO

CD

∵△APE

∴AD=AP

又∵△ABO∽

∴

又∵

∴

=(

(2)作AO⊥BC

∵△APE

∴AD=AP

∵P位于AB垂直平分线上

∴PB=PA，Q为AB中点

有∠

∴AO=

∴△APQ

∠

AC

=cos

6、【答案】(1)①1；

②?4；

③AC；

④1

;

(2)n=1

;

【解析】(1)将(4,3)代入y=ax

16a+4b+3=3

即4a+b=0(a0)

又已知抛物线的顶点为?

∴抛物线的对称轴为x=2

∴有4a+2b+3=?1

a=1

又有m0

∴m=1．

(2)进行分类讨论：

1．若n?2，则当n?2xn时函数单调递减，即：

(n?2)

解得n=1

2．若n?2?2即n?4，则当n?2xn时函数单调递增，即：

(n?2)

无实数解集，所以此种情况下不存在符合条件的n

3．若n?22n即2n4，则有：

3n?3=?1

或3n?3=?1

无实数解集，所以此种情况下不存在符合条件的n

综上所述，n=1．