2023年第63届国际数学奧林匹克（IMO）竞赛数学试卷预选赛.doc

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2023年第63届国际数学奧林匹克（IMO）竞赛数学试卷预选赛

代数部分

1、已知正实数列{an}满足对于任意的正整数n，均有a

2、设正整数k?2．求最小的正整数n?k+1，满足下述性质：存在由n个不同实数构成的集合，使得这个集合中的每个元素都是此集合中另外k个不同元素的和．

3、设正整数n?3，实数x1，x2，?，xn∈[0,1]，s=x1+

4、求所有正整数n?2，使得存在n个实数a1，a2，?，ana1a2?an和实数r0，满足1

5、设?是所有满足下述条件的函数f的合集：函数f:R→R，且对于每个x、y∈R，均有f(x+f(y)=f(x)+f(y)．求所有的有理数q，使得对于每个f∈?，均存在

6、对于每个正整数n，记S(n)是n的各位数码之和．设多项式P(x)=xn+an?1xn?1+?+a1x+

7、对于正整数n，若非负整数列a0，a1，?，an满足对于任意非负整数i、j(i+j?n)，总有ai+aj?n，且aai+aj=ai+j，则称这个数列为“

组合部分

8、由2022个+1或?1构成的数列a1，a2，?，a2022称为“±1?数列”．求最大的实数C，使得对于任意±1?数列a1，a2，?，a2022，均存在正整数k和下标t1，t2，?，

9、在形如2022×2022的正方形花园中的每个格内，最初均有一棵高度为0的树．一名园丁和一名伐木工人轮流玩游戏，园丁先开始．

园丁选择花园中的一个格，将这个格和与其相邻的格(最多8个)中的树均长高1个单位．

伐木工人选择花园中的4个不同的格，将这些格中的每棵高度大于0的树均剪低1个单位．

如果一棵树的高度至少是106，则称这棵树是“粗壮的”．求最大的正整数K，使得无论伐木工人怎么操作，园丁总能确保有K

10、设正整数n3．n个孩子围成一个圈，将n枚硬币分给他们（某些孩子可能没有硬币）．每一步，一个至少有两枚硬币的孩子可以给与他相邻（他左边和他右边）的每个孩子各一枚硬币．求所有最初的硬币分配，使得有限步后，每个孩子恰有一枚硬币．

11、设正整数m、n?2，X是有n个元素的集合．X1，X2，?，Xm是X的两两不同的非空子集（不必是X的两两不交的子集）．函数f:X→{1,2,?,n+1}称为“好的”：如果存在一个下标k，使得对于所有的i≠k(1?i?m)

证明：好的函数的个数至少是nn

12、设n是正整数，有n堆石子，开始时，每堆只有一颗石子．可以进行如下操作：选择两堆，从每堆中各取数量相同的石子合并成一新堆（不同于其他堆）．对于每个正整数n，求非空堆（至少有一颗石子）的数目的最小值，使得通过有限次操作得到这种情况．

13、露西在黑板上写了s个2022元整数组，然后她任取其中的两个（不必不同）：

v=(v1,

并在黑板上写出由下列两个运算之一得到的一个新的2022元整数组：

v+w=(v

v∨w=max{

若用这样的方式在有限次运算后，露西可以写出任意一个2022元整数组，求最初写在黑板上的2022元整数组的个数s的最小值．

14、设双射f:N×N→N满足：若f(

设N是整数对(x,y)的个数(0?x、y100)，使得f(x,y)是奇数．求N的最小值和最大值．

几何部分

15、已知△ABC是锐角三角形，点A在BC上的投影为F，P是线段AF上的点．过点P作AC、AB的平行线，与BC分别交于点D、E．不同于点A的点X、Y分别在△ABD、△ACE的外接圆上，且满足DA=DX，EA=EY．证明：B、C、X

16、已知ABCD是圆内接四边形，点Q、A、B、P依次排列在直线AB上，且满足AC与△ADQ的外接圆相切，BD与△BCP的外接圆相切，M、N分别是边BC、AD的中点．证明：直线CD、△ANQ的外接圆过点A的切线、△

17、已知锐角△ABC满足ACAB，O是外心，D是边BC上一点，过点D且垂直于BC的直线与AO、AC、AB分别交于点W、X、Y．△AXY、△ABC的外接圆的不同于A的交点为Z．证明：若OW=OD，则DZ

18、已知△ABC和两条平行线l1、l2．对于i=1，2，设直线li与BC、CA、AB分别交于点Xi、Yi、Zi，过点Xi且垂直于BC的直线、过点Yi且垂直于CA的直线、过点Z

19、已知△ABC是锐角三角形，点A在BC上的投影为H，动点P满足∠PBC、∠PCB的平分线k、l的交点在线段AH上．设直线k与AC交于点E，直线l与AB交于点F，直线EF与AH交于点Q．证明：当点P

20、已知△ABC和△A′B′C′有相同的外接圆ω和相同的垂心H，设直线AA′、BB′

21、已知AA′BCC′B′是圆内接凸六边形，且满足AC与△A′B′C′的内切圆相切，A′C′与△ABC

数论部分

22、称一个正整数是“好数”：若它有三