三年（2022-2024）高考数学真题分类汇编专题：三角函数与解三角形（解析版）.docx

三年（2022-2024）高考真题分类汇编

专题三角函数与解三角形

1．（2023?上海）已知a∈R，记y＝sinx在[a，2a]的最小值为sa，在[2a，3a]的最小值为ta，则下列情况不可能的是（）

A．sa＞0，ta＞0 B．sa＜0，ta＜0 C．sa＞0，ta＜0 D．sa＜0，ta＞0

【解析】由给定区间可知，a＞0．

区间[a，2a]与区间[2a，3a]相邻，且区间长度相同．

取a=π6，则[a，2a]＝[π6，π3]，区间[2a，3a]＝[π3，π

取a=5π12，则[a，2a]＝[5π12，5π6]，区间[2a，3a]＝[5π6，5π4]，可知sa

取a=7π6，则[a，2a]＝[7π6，7π3]，区间[2a，3a]＝[7π3，7π2]，可知sa

结合选项可得，不可能的是sa＜0，ta＞0．

故选：D．

2．（2022?浙江）为了得到函数y＝2sin3x的图象，只要把函数y＝2sin（3x+π

A．向左平移π5个单位长度

B．向右平移π5个单位长度

C．向左平移π15个单位长度

D．向右平移π15

【解析】把y＝2sin（3x+π5）图象上所有的点向右平移π15个单位可得y＝2sin[3（x?π15

故选：D．

3．（2023?新高考Ⅰ）已知sin（α﹣β）=13，cosαsinβ=16，则cos（2

A．79 B．19 C．?1

【解析】因为sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣sinβcosα=13，cosαsinβ

所以sinαcosβ=1

所以sin（α+β）＝sinαcosβ+sinβcosα=1

则cos（2α+2β）＝1﹣2sin2（α+β）＝1﹣2×4

故选：B．

4．（2022?新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sin

A．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1

C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1

【解析】解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sin

所以2sin（α+β+π4）＝22cos（α+π

即sin（α+β+π4）＝2cos（α+π

所以sin（α+π4）cosβ+sinβcos（α+π4）＝2cos（α

所以sin（α+π4）cosβ﹣sinβcos（

所以sin（α+π

所以α+π4?β=kπ，k

所以α﹣β＝kπ?π

所以tan（α﹣β）＝﹣1．

解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，

即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，

所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，

故tan（α﹣β）＝﹣1．

故选：C．

5．（2023?新高考Ⅱ）已知α为锐角，cosα=1+54

A．3?58 B．?1+58 C．

【解析】cosα=1+

则cosα=1?2sin

故2sin2α2=1﹣cos

∵α为锐角，

∴sinα

∴sinα2

故选：D．

6．（2024·全国）已知，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值.

【解析】因为，所以，

而，所以，

故即，

从而，故，

7．（2024·全国）当时，曲线与的交点个数为（????）

A．3 B．4 C．6 D．8

【答案】C

【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解

【解析】因为函数的的最小正周期为，

函数的最小正周期为，

所以在上函数有三个周期的图象，

在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：

由图可知，两函数图象有6个交点.

8．（2024·全国）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（????）

A． B． C．1 D．2

【答案】D

【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.

【解析】解法一：令，即，可得，

令，

原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，

注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，

可得，即，解得，

若，令，可得

因为，则，当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，

所以符合题意；

综上所述：.

解法二：令，

原题意等价于有且仅有一个零点，

因为，

则为偶函数，

根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，

即，解得，

若，则，

又因为当且仅当时，等号成立，

可得，当且仅当时，等号成立，

即有且仅有一个零点0，所以符合题意；

9．（2024·全国）已知，则（????）

A． B． C． D．