2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型七 第24题平面直角坐标系下的图形变化 (含答案).docx

2024天津中考数学二轮重难题型专题训练

题型七第24题平面直角坐标系下的图形变化

类型一旋转问题

典例精讲

例1在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0，0)，点A(5，0)，点B(0，3)．以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF，点O，B，C的对应点分别为D，E，F.

(Ⅰ)如图①，当点D落在BC边上时，求点D的坐标；

例1题图①

【思维教练】利用勾股定理可以求得CD，进而得到BD，则可求得点D的横坐标，而点D落在BC边上，可求得点D的纵坐标，进而得到点D的坐标

(Ⅱ)如图②，当点D落在线段BE上时，AD与BC交于点H.

①求证：△ADB≌△AOB;

【思维教练】当点D落在线段BE上时，可得△AOB和△ADB均为直角三角形，进而可得AD＝AO，AB＝AB，利用HL即可证得Rt△ADB≌Rt△AOB

例1题图②

②求点H的坐标；

【思维教练】由①得∠BAO＝∠BAD，而由矩形性质得∠CBA＝∠OAB，进而可得∠BAD＝∠CBA，则AH＝BH，在Rt△AHC中，利用勾股定理列方程即可求出AH的长度，则可得到BH的长度，进而得到点H的坐标

(Ⅲ)记K为矩形AOBC对角线的交点，S为△KDE的面积，求S的取值范围(直接写出结果即可)．

【思维教练】本问属于旋转过程中的点圆最值问题，如图，点D在以A为圆心，OA长为半径的圆上，当点D在线段AB上时，△KDE的面积最小；当点D在线段BA的延长线上时，△KDE的面积最大

针对演练

1.在平面直角坐标系中，O为原点，点A(4，0)，点B(0，3)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′.记旋转角为α.

(Ⅰ)如图①，若α＝90°，求AA′的长；

(Ⅱ)如图②，若α＝120°，求点O′的坐标；

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P＋BP′取得最小值时，求点P′的坐标(直接写出结果即可)．

第1题图

2.在平面直角坐标系中，有正方形OBCD和正方形OEFG,E(2eq\r(2)，0)，B(0，2)．

(Ⅰ)如图①，求BE的长；

(Ⅱ)将正方形OBCD绕点O逆时针旋转，得正方形OB′C′D′.

①如图②，当点B′恰好落在线段D′G上时，求B′E的长；

②将正方形OB′C′D′绕点O继续逆时针旋转，线段D′G与线段B′E的交点为H，求△GHE与△B′HD′面积之和的最大值，并求出此时点H的坐标(直接写出结果)．

图①图②

第2题图

3.如图①，△ABC是边长为2eq\r(3)的等边三角形，点E为BC中点，连接AE并延长与x轴交于点D，已知点B(0，2eq\r(3)).

(Ⅰ)求点D的坐标；

(Ⅱ)如图②，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′，点B，C的对应点分别为点B′，C′，D′为D关于y轴的对称点．

①连接D′B′，C′D，证明：D′B′＝C′D.

②连接B′D，点F为B′D的中点，连接D′F，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，当线段D′F最大时，请直接写出△D′OF的面积．

第3题图

4.在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为(2,2eq\r(3))，将矩形OABC绕点A顺时针旋转α，得到矩形O1AB1C1，点O，B，C的对应点分别为O1，B1，C1.

(Ⅰ)如图①，当α＝45°时，O1C1与AB相交于点E，求点E的坐标；

(Ⅱ)如图②，当点O1落在对角线OB上时，连接BC1，四边形OAC1B是何特殊的四边形？并说明理由；

(Ⅲ)连接BC1，当BC1取得最小值和最大值时，分别求出点B1的坐标(直接写出结果即可)．

第4题图

类型二折叠问题

满分技法

具体内容详见本书微专题图形折叠问题．

典例精讲

例2将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(2，0)，点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上(点P不与点O，B重合)．

(Ⅰ)如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；

【思维教练】已知OP，要求点P的坐标，需过点P作PH⊥x轴于点H，构造Rt△OPH，再解直角三角形即可求解

例2题图①

(Ⅱ)折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O′，设OP＝t.

①如图②，若折叠后△O′PQ与△OAB重叠部分为四边形，O′P，O′Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O′D的长，并直接写出t的取值范围；

【思维教练】要求O′D关于t的函数关系式，观察图形可用O′Q－QD求解，已知OQ＝OP，可得四边形OQO′P为菱形，进而可得QO′，QA关于t的函数关系式，