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第1章插值方法插值法是一种古老的数学方法。早在1000多年前,我国历法上已经记载了应用一次插值和二次插值的实例。拉格朗日(Lagrange)、牛顿(Newton)、埃特金(Aitken)分别给出了不同的解决方法。

1.1拉格朗日插值公式1.2牛顿插值公式1.3埃特金插值公式1.4存在惟一性定理1.5插值余项1.6分段三次埃尔米特插值1.7三次样条插值1.8应用实例

1.1拉格朗日插值公式拉格朗日(Lagrange)插值公式(以下统称为Lagrange插值公式)的基本思想是,把p(x)的构造问题转化为n+1n个插值基函数l(x)(i=0,1,…,n)的构造。i

图1-1插值多项式

1.n=1的情况已知函数y=f(x)在点xy,y,要求多项式y=p(x),使0011p(x)=y,p(x)=y。其几何意义,就是100111通过两点A(x,y),B(x,y)的一条直线,1100如图1-2所示。

图1-2一次插值多项式

由直线两点式可知,通过A,B的直线方程为(1.1)它也可变形为p(x)=l(x)y+l(x)y10011其中显然有:l(x)=l(x)=1,l(x)=l(x)=0,p(x)=y,00110110100p(x)=y111

我们称l(x)为点x的一次插值基函数,l(x)为001点x的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取1值为1,而在另外的插值点上取值为0。插值函数p1(x)是这两个插值基函数的线性组合,其组合系数就是对应点上的函数值。这种形式的插值称作为拉格朗日(Lagrange)插值。

2.n=2的情况线性插值只利用两对值(x,y)及(x,y)求得0011y=f(x)的近似值,误差较大。p(x)=y,p(x)=y,p(x)=y200211222p(x)是x的二次函数,称为二次插值多项式。2通过三点的插值问题称为二次插值或抛物插值。

3.一般情况我们看到,两个插值点可求出一次插值多项式p(x),而三个插值点可求出二次插值多项式p(x)。12当插值点增加到n+1个时,我们可以利用Lagrange插值方法写出n次插值多项式p(x),如下所示:n

1.2牛顿插值公式差商表xf(x)一阶差商二阶差商三阶差商x0x1f(x0)f(x)f(x,x)101x2x3f(x)f(x,x)f(x,x,x)212012f(x)f(x,x)f(x,x,x)f(x,x,x,x)3231230123

Newton插值算法如下:inputx,(x,y),i=0,1,…,n。iiy=y,t=1。0forj=1,…,ndot=t*(x-xj-1)fori=0,…,n-jdoendy=y+y*t0endoutput(x,y),(x,y),i=0,1,…,n。ii

Newton插值算法中的j循环由三部分组成:计算(x-x)的累积,存入tj单元;内套一个i循环用来依次计算差商表中的各阶差商,存入y单元;iy单元用于存放Newton公式中各项累加之和。

[例3]已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(x)的Newton插值多项式。解:设x=-1,x=1,x=2,则012

1.3埃特金插值公式埃特金(Aitken)插值公式(以下统称为Aitken插值公式)的构造是基于这样的直观想象:平面上的两个点可以连成一条直线,对应一个线性函数;把线性函数看作形式点,经线性组合,可构成二次函数;把二次函数再看作形式点,经线性组合,可构成三次函数。

Aitken插值表(x22xf(x)P303

从Aitken插值公式向算法转化要考虑的问题是:(1)插值公式右端n-1次多项式应如何处理;(2)插值表中的元素应设置多少个存储单元;(3)插值表中第k列第i行元素的计算公式。

Aitken插值算法如下:inputx,(x,y),i=0,1,…,nii1kL:fori=k,k+1,…,ndoendifk≠nthenk+1k,gotoLifk=n,outputyn

Aitken插值算法为二重循环。外循环为k循环,用于计算Aitken插值表中的第k列;内循环为i循环,用于计算Aitken插值表中的第k列中的第i个元素。

[例4]已知f(-1)=2,f(1)=1,f(2)=1,求f(xAitken插值多项式。解:设x=-1,x=1,x=2012

例4的Aitken插值表xf(x)-121

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