【试读】度量：一首献给数学的情歌.pdfVIP

目录|XI

第1章

目录

现实与想象／1

论数学问题／4

第一部分大小和形状／19

我们开始考察抽象的几何图形。——马赛克图案与角度的度量。

——等比例缩放与比例。——长度、面积与体积。——穷竭法及其

应用。——多边形与三角学。——圆锥曲线与射影几何。——机械

曲线。

第二部分时间和空间／185

关于数学中的运动的一些思考。——坐标系与维度。——运动作为

一种数值关系。——向量表示与相对运动。——速度的度量。——

微分学及其诸多应用。——临末给读者的一些鼓励。

致谢／368

现实与想象|1

现实与想象

有很多不同的现实同时存在着，当然其中就包括我们自己生活在其

中的物理现实。还有那些与物理现实十分相似的想象世界，比如其他的

一切都与物理现实完全一样，只是其中的我五年级的时候不再尿裤子的

想象世界；又比如在公交车上有一位头发乌黑的漂亮姑娘向我转过身来，

然后我们开始聊天并最终坠入爱河的想象世界。请相信我，有很多这样

的想象世界，只是它们既不在这儿，也不在那儿。

我想谈谈一个不同的地方，我将要称呼它为“数学现实”。在我的脑

海里，一直有着这样的一个世界，各种漂亮的形状和模式四处飘动，并

做着各种令人好奇、使人惊讶的事情，这些事情让我身心愉悦并陶醉其

中。那真是一个神奇的地方，我很爱它！

事实是，物理现实是一场灾难。它太复杂了，任何事情都不是表面

看上去的那样简单：其中的物体会热胀冷缩，而原子则会飞来飞去。特

别是，没有任何东西能够在真正的意义上被度量。我们不知道一株小草

真正的高度，在物理现实中，任何度量都必然只能够是粗略的近似。这

也并不能够说坏，这只是物理现实的性质。最小的微粒也不是一个点，

最细的金属丝也不能说是一条直线。

另一方面，数学现实则是想象的。它可以像我想的那样简单精致，

同时我能够拥有那些我在现实生活中不可能拥有的美好事物。虽然我的

手里永远不可能握着一个真正的圆，但在我的头脑中却可以装一个这样

的圆，而且我可以度量它。数学现实是我自己创造的一个美丽仙境，我

可以探索它、思考它，也可以和朋友们讨论它。

2|度量：一首献给数学的情歌

由于各种各样的原因，人们纷纷对物理现实产生了浓厚的兴趣。天

文学家、生物学家、化学家以及其他学科的科学家们都尝试着去探索它

的工作原理，并试图向我们描述它。

在这本书中，我想要描述的是数学现实。找出模式，找出隐藏在其

背后的工作原理，这就是包括我在内的数学家们努力去做的事情。

关键是，我同时拥有物理现实和数学现实，它们都很漂亮、有趣（当

然也不免有些吓人）。物理现实很重要是因为我就生活在其中，数学现实

很重要则是因为它已然是我生命的一部分。在生活中，我同时拥有这两

个美好的事物；亲爱的读者，你也和我一样。

在本书中，我们将会设计模式，找到形状和运动的模式，然后我们试

着去理解这些模式并对它们进行度量。我确信我们将会看见美好的事物。

但是亲爱的读者，我也不想对你们撒谎，这同时也是一项非常艰苦

的工作。数学现实就像是一片无垠的丛林，其中充满了无数迷人的奥秘，

但它绝不会轻易吐露其中的秘密。让我们做好奋斗的准备吧，无论是智

力方面，还是创造力方面。事实上，我不知道还有哪一项人类活动对想

象力、洞察力以及创造力有如此高的要求。不过，无论怎样，我都要做

这件事，因为我情不自禁要这样做。一旦你走进这片丛林，你就再也不

能够真正地离开，它会让你魂牵梦绕、流连忘返。

因此，我诚挚地邀请你踏上这段神奇的旅程！同时，我也很希望你

能够热爱这片丛林，并被它的魅力所征服。在这本书中，我会尝试着去

描述我对数学的感觉，并向你展示一些最漂亮、最激动人心的发现。请

不要期望书中有