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2024年普通高等学校招生全国统一考试〔福建卷〕
数学试题〔文史类〕
第I卷〔选择题共60分〕
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分。在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求
复数等于〔〕
A.B.C.D.
集合,,以下结论成立的是〔〕
A.B.C.D.
向量,,那么的充要条件是〔〕
A.B.C.D.
一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是〔〕
A.球B.三棱锥C.正方体D.圆柱
5.双曲线的右焦点为,那么该双曲线的离心率等于〔〕
A.B.C.D.
6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出值等于〔〕
A.B.C.0D.
7.直线与圆相交于两点,那么弦的长度等于〔〕
A.B.C.D.1
8.函数的图像的一条对称轴是〔〕
A.B.C.D.
9.设,,那么值为〔〕
A.1B.0C.D.
10.假设直线上存在点满足约束条件,那么实数的最大值为()
A.B.1C.D.2
11.数列的通项公式,其前项和为,那么等于〔〕
A.1006B.2024C.503D.0
12.,且,现给出如下结论:①;②;③;④。
其中正确结论的序号是〔〕
A.①③B.①④C.②③D.②④
第二卷〔非选择题共90分〕
二、填空题:本大题共4小题,每题4分,共16分。把答案填在答题卡的相应位置。
13.在中,,,,那么_______。
14.一支田径队有男女运发动98人,其中男运发动有56人。按男女比例用分层抽样的方法,从全体运发动中抽出一个容量为28的样本,那么应抽取女运发动人数是_______。
15.关于的不等式在R上恒成立,那么实数的取值范围是_________。
16.某地图规划道路建设,考虑道路铺设方案,方案设计图中,求表示城市,两点之间连线表示两城市间可铺设道路,连线上数据表示两城市间铺设道路的费用,要求从任一城市都能到达其余各城市,并且铺设道路的总费用最小。例如:在三个城市道路设计中,假设城市间可铺设道路的路线图如图1,那么最优设计方案如图2,此时铺设道路的最小总费用为10。
现给出该地区可铺设道路的线路图如图3,那么铺设道路的最小总费用为____________。
三、解答题:本大题共6小题,共74分。解容许写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.〔本小题总分值12分〕
在等差数列和等比数列中,,的前10项和。
〔Ⅰ〕求和;
〔Ⅱ〕现分别从和的前3项中各随机抽取一项写出相应的根本领件,并求这两项的值相等的概率。
18.〔本小题总分值12分〕
某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:
〔I〕求回归直线方程,其中
〔II〕预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从〔I〕中的关系,且该产品的本钱是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?〔利润=销售收入—本钱〕
19.〔本小题总分值12分〕
如图,在长方体中,,为棱上的一点。
〔I〕求三棱锥的体积;
〔II〕当取得最小值时,求证:⊥平面。
20.〔本小题总分值12分〕
某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。
〔1〕;
〔2〕;
〔3〕;
〔4〕;
〔5〕。
〔I〕试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;
〔II〕根据〔Ⅰ〕的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论。
21.〔本小题总分值12分〕
如图,等边三角形的边长为,且其三个顶点均在抛物线上。
〔I〕求抛物线的方程;
〔II〕设动直线与抛物线相切于点,与直线相交于点。证明以为直径的圆恒过轴上某定点。
22.〔本小题总分值14分〕
函数且在上的最大值为。
〔I〕求函数的解析式;
〔II〕判断函数在内的零点个数,并加以证明。
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