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梯形典型例题
典型例题
?
例1:已知梯形ABCD的面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直,则另一条对角线长为___________________.
思路分析
本题是几何中的计算问题.通过作对角线的平行线,可以将对角线与高,上底与下底和集中到同一个直角三角形中,这样就可以利用勾股定理求出对角线的长.
解:如图4-50,梯形ABCD中,AD∥BC,BD⊥BC.设AD=x,BC=y,DB=z,由题得:x+y+z=16,
,(熟记梯形面积公式)
解得x+y=8,z=8,
过D作DE∥AC交BC的延长线于E.
∴四边形ADEC是平行四边形,(注意这种辅助线的作法很常用)
∴DE=AC,AD=CE.(将“上底+下底”转化到一条线段上)
在Rt△DBE中,∠DBE=90°,BE=BC+CE=x+y=8,BD=8,
根据勾股定理得,
∵AC=DE,
.
点评:本题主要考查用“方程思想”解决几何中的计算问题.解题过程中作“对角线的平行线”,将对角线与高,上底与下底和集中到同一个直角三角形中,这样就可以通过解直角三角形计算出对角线长,体现了添加辅助线的目的是把“分散的条件得以集中,隐含条件加以显现”的作用.解梯形有关问题时,我们也常通过“作平行线将之转化为平行四边形的问题来解决”.
例2:如图4-51,已知AB=BC,AB∥CD,∠D=90°,AE⊥BC.求证:CD=CE.
思路分析
这是一个直角梯形,通过作CF⊥AB,可以将梯形分成矩形和三角形,结合直角梯形的性质,利用两次全等,达到证明CD=CE的目的.
证明:如图4-52,连结AC,过C作CF⊥AB于F.
在△CFB和△AEB中,(这是直角梯形中常见的辅助线)
(构造三角形证明三角形全等)
∴△CFB≌△AEB(AAS)
∴CF=AE.
∵∠D=90°,CF⊥AB且AB∥CD,
∴AD=CF,
∴AD=AE.
(1)为了充分利用材料,应选用第_________种铝板,这时一块铝板最多能剪甲、乙两种零件共________个,剪完这些零件后,剩余的边角料面积是______________.
(2)从图4-57(1)、4-57(2)中选出你要的铝板示意图,在上面画出剪切线;并把边角余料用阴影表示出来.
思路分析
通过计算,两直角梯形零件面积分别为,而铝板的面积均为,最多能剪出两个甲、两个乙零件,即在两铝板中设计打样.设计时,为了充分利用材料,考虑到(1)中宽为300mm,则一种方案作两个乙高,另一种方案为一个甲的下底,思路便打开,类似地,(2)也可以这样分割设计,做出尝试.
解:(1)应选用第一块铝板,最多能剪出甲、乙两种零件共4个,由计算得
第一块铝板面积为:,
而零件甲、乙的面积分别为,
,
∴剩余的边角料的面积是;
(2)如图4-58所示正确画出图形.
(设计零件个数,从个数、数量上,结合图中数与数之间的关系考虑,往往是应用题的切入点,此外对图形的拼凑、计算、想象,可有利于思维向纵深发展.)
?
习题精选
一、选择题
1.下列命题中,真命题有(???)
①有两个角相等的梯形是等腰梯形;?②有两条边相等的梯形是等腰梯形;?③两条对角线相等的梯形是等腰梯形;?④等腰梯形上、下底中点连线,把梯形分成面积相等的两部分.
(A)1个???(B)2个???(C)3个???(D)4个
2.以线段a=16,b=13,c=10,d=6为边作梯形,其中a、c作为梯形的两底,这样的梯形(???)
(A)只能作1个????????????????????????(B)能作2个
(C)能作无数个???????????????????????(D)不能作
3.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,E是CD中点,则(???)
(A)AE=BE????????????????????????????(B)AE>BE
(C)AE<BE???????????????????????????(D)AE、BE大小不确定
4.等腰梯形的两底长分别为a、b,且对角线互相垂直,它的一条对角线长是(???)
(A)???????????????????????(B)(a+b)
(c)??????????????????????????(D)a+b
5.有两个角相等的梯形是(???)
A.等腰梯形????????????????????????????B.直角梯形
C.一般梯形?????????????
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