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梯形常用辅助线的做法

梯形常用辅助线的做法

常见的梯形辅助线基本图形如下:

1.平移梯形一腰或两腰,把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中,同时还得到平行四边形．

已知：如图,在梯形ABCD中,.求证：.

分析:平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决,即AB=2CD.

证明：过D作,交AB于E.

∵AB平行于CD,且,

∴四边形是菱形.

∴

又

∴为等边三角形.

∴

又,

∴

∴.

【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,E、F分别是AD、BC的中点,若.AD=7,BC=15,求EF．

分析：由条件,我们通过平移AB、DC；构造直角三角形MEN,使EF恰好是△MEN的中线．

解：过E作EM∥AB,EN∥DC,分别交BC于M、N,∵,

变式3：（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。

3.从梯形上底的两端向下底引垂线作高,可以得到一个矩形和两个直角三角形．然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题．

例4.如图,在梯形中,.求证：.

分析:过上底向下底作两高,构造Rt△,然后利用两三角形全等解决问题.

证明：分别过D、C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.

∵,

∴.

又,

∴≌.

∴

变式：如图7，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF//AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。

图7

析证：过点D作DG⊥AB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因为AB=2DC，所以AG=GB。

从而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。

如图8，在梯形ABCD中，AD为上底，ABCD，求证：BDAC。

图8

析证：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，则易知AE=DF。在Rt△ABE和Rt△DCF中，因为ABCD，AE=DF。

所以由勾股定理得BECF。

即BFCE。在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BDAC

4.平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线,与另一底的延长线相交,得到一个平行四边形和三角形,把梯形问题转化为平行四边形和三角形问题解决．

【例5】.如图,等腰梯形中,,,且,是高,是中位线,求证：．

分析：由梯形中位线性质得,欲证,只要证．过点作,交的延长线于,就可以把、和移到三角形中,再证明等式成立就简单多了．

证明：过点作交的延长线于点,则四边形是平行四边形．∴,

∵四边形是等腰梯形,

∴,∴

又∵,∴,

∴,?∴.

∵,

∴

又∵,∴.

【例6】.已知：如图,在梯形中,.求证：梯形是等腰梯形.

证明：过D作,交BA延长线于E.则四边形是平行四边形.

∴.

∴

又,

∴

于是,可得

∴

∴梯形ABCD是等腰梯形.

变式1：如图3，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求证：AC⊥BD。

图3

析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在△ACE中，，从而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

变式2：（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________

变式3:如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积。

图4

析解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即。

所以

由勾股定理得

（cm）

（cm）

所以，即梯形ABCD的面积是150cm2。

5.遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线,中位线与上、下底都平行,且三线段有数量关系.或利用“等积变形”,连结梯形上底一端点和另一腰中点,并延长与下底延长线交于一点,构成三角形解决问题．

【例7】.已知：如图4,在梯形中,是的中点,且.求证：.

证明：取的中点F,连结FE.则

∵,

∴.

∴.

【例8】.已知：梯形ABCD中ADBC,E为AB中点,且AD＋BC=DC,求证：DE⊥EC,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD．

证法1：取DC中点F,连