第三章 勾股定理（毕达哥拉斯数和赵爽弦图扩展）（原卷版） .pdfVIP

第三章勾股定理

毕达哥拉斯树（勾股树）

是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的图形。又因为重

复数次后的形状好似一棵树，所以被称为毕达哥拉斯树。直角三角形两个直角

边平方的和等于斜边的平方。两个相邻的小正方形面积的和等于相邻的一个大正

方形的面积。而同一次数的所有小正方形面积之和等于最大正方形的面积，直

角三角形两个直角边平方的和等于斜边的平方。

典例1

A

如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、

BCD3523E

、、的边长分别是、、、，则正方形的面积是（）

A．47B．37C．34D．13

典例2

“”“”①3②7

如图是按照一定规律生长的勾股树．经观察可以发现：图中共有个正方形，图中共有个正方

③15“”⑤

形，图中共有个正方形，照此规律生长下去，图中共有正方形的个数是（）

A．31B．32C．63D．64

典例3

“”

勾股树是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复

这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第

12023

二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，如果第一个正方形面积为，则第代勾股

树中所有正方形的面积为．

跟踪训练1

“”

毕达哥拉斯树也叫勾股树，是由毕达哥拉斯根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树状图形，其中

ABCD2

所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．如图，若正方形、、、的边长分别是，

312G

，，，则正方形的边长是．

跟踪训练2

“”

在如图所示的勾股树图案中，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知最大正方形的边长

为10，则图中所有正方形的面积之和为．

跟踪训练3

回看古人数学成就，领略数学先贤智慧．认真阅读并理解下面的材料，完成填空．

“”

材料一：勾股定理，被称为几何学的基石．在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，

这个结论就是勾股定理．在古时候，我国数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，较长的直

“”

角边称为股，斜边称为弦．成书于公元前世纪的《周髀算经》中有勾三股四弦五的记载，意思是在一个

1

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直角三角形中，如果较短直角边的长度为，较长直角边的长度为，斜边的长度则为（如图），可根据