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直角三角形的性质和判定(Ⅱ)(勾股定理)

湘教版八年级下

绥宁县第一中学匡荣华

教学目标

1.通过探究，能推导出直角三角形的性质—勾股定理；

2.已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理求第三边；

3.提高看图用图，解答几何问题的能力；

4.了解勾股定理的产生，激发学习数学的欲望.

其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.

导入新课

据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图).

很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解.

新知讲解

我量得斜边c=5.

新知讲解

新知讲解

又∵S₁+S₂=3²+4²=5².

∴S₁+S₂=S₃.

新知讲解

在图中，S₁+S₂=S₃，即BC²+AC²=AB²，那么是否对所有的直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？

新知讲解

如图，任作一个Rt△ABC，∠C=90°，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a²+b²=c²是否成立呢？

探究

我们可以按下面步骤进行研究.

新知讲解

步骤1如图，先剪出4个如图所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b(其中ba)，于是它们全等(SAS)，从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.

新知讲解

步骤2再剪出1个边长为c的正方形(下面左边的图形).

步骤3把步骤1和步骤2中拼成下面右边的图形.

新知讲解

∵△DHK≌△IEH，

∴∠2=∠4.

又∵∠1+∠2=90°，

∴∠1+∠4=90°.

又∵∠KHI=90°，

∴∠1+∠KHI+∠4=180°，即D，H，E在一条直线上.

新知讲解

同理，E，I，F在一条直线上；

F，J，G在一条直线上；

G，K，D在一条直线上.

因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a+b)，它的面积为(a+b)².

新知讲解

又正方形DEFG的面积为

新知讲解

由此得到直角三角形的性质定理：

直角三角两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.

a²+b²=c²

新知讲解

其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦，如右图，因此这一性质被称为勾股定理.

勾

股

弦

新知讲解

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理，求出第三边的长.

例题讲解

例1如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，AD⊥BC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？

分析先利用等腰三角形的性质求出BC；再在Rt△ADC中，利用勾股定理即可求出AD.

例题讲解

解：在△ABC中，

∵AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC，

由勾股定理得，AD²+BD²=AB²，

在Rt△ADB中，

故AD的长为12cm.

巩固练习

B

1.在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，AC=()

A.4

B.6

C.8

D.12

巩固练习

D

巩固练习

C

巩固练习

4.已知直角三角形的两直角边分别为9cm和12cm，则斜边上的高为（）

A.3.6cm

B.4.8cm

C.7.2cm

D.10.8cm

C

课堂总结

关于直角三角形三边关系的性质定理是什么？

作业布置

第11页课后练习题：

在Rt△ABC中，∠C=90°.

(1)已知a=25，b=15，求c；

(2)已知a=5，c=9，求b；

(3)已知b=5，c=15，求a.

作业布置

习题1.2第1、4题：

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，

(1)若a=8，c=17，那么b=；

(2)若a=10，b=24，那么c=.

15

26

作业布置