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题位训练6：三角形的全等探究题

一、解答题

1.（2020·郫都区期末）（1）如图①，△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，不与点B，C重合，连接CE，试判断CE与AB的位置关系，并说明理由；

（2）如图②，△ABC，△ADE均为等边三角形，连接CE，BD，

若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上；

（3）如图③，点E在等边△ABC外，且与点B位于线段AC的异侧，连接AE，BE，CE.若∠BEC=60°，猜测线段BE，AE，CE三者之间的数量关系，并说明理由.

2.（2020·双流区期末）（1）如图①，在等腰△ABC中，AC=BC，在底边AB上任取一点D，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△ACD，AC与AB相交于点O.试说明：∠ADB=∠ACB；

（2）如图②，在Rt△ABC中，AC=BC，过点C作直线l平行于AB，在点C的右侧取一点E，作∠BEF=90°，射线EF交边AC于点F，试说明：BE=EF；

（3）如图③，在△ABC中，AC=BC，过点C作直线l平行于AB，在点C的左侧任取一点E，作∠BEF=∠ACB，射线EF交射线CA于点F，试说明：BE=EF.

3.（2020·锦江区期末）在△ABC中，∠B=60°，D是BC上一点，且AD=AC.

（1）如图①，延长BC至点E，使CE=BD，连接AE.试说明：AB=AE；

（2）如图②，在AB边上取一点F，使DF=DB，试说明：AF=BC；

（3）如图③，在（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并说明理由.

4.（2020·新都区期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，

△CDE是等边三角形，点D在边AB上.

（1）如图①，当点E在边BC上时，试说明：DE=EB；

（2）如图②，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=3.求CG的长.

参考答案

1.答案：见解析

解析：（1）CE∥AB.

理由：因为△ABC，△ADE都是等边三角形，

所以AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠B=60°，

所以∠BAD=∠CAE，

所以△BAD≌△CAE（SAS），

所以∠B=∠ACE=60°，

所以∠BAC=∠ACE，

所以CE∥AB.

（2）同理（1）可得，△ABD≌△ACE，

所以∠ADB=∠AEC.

因为△ADE是等边三角形，

所以∠AED=∠ADE=60°

因为∠DEC=60°，

所以∠AEC=∠AED+∠DEC=60°+60°=120°，

所以∠ADB=∠AEC=120°，

所以∠ADB+∠ADE=120°+60°=180°，

所以点B，D，E在同一直线上

（3）BE=AE+EC.

理由：如答图，在线段BE上取一点H，使得BH=CE，

设AC交BE于点O.

因为△ABC是等边三角形，

所以AB=BC，∠BAC=60°.

因为∠BEC=60°，

所以∠BAO=∠OEC

因为∠AOB=∠EOC，

所以∠ABH=∠ACE.

因为BA=CA，BH=CE，

所以△ABH≌△ACE（SAS），

所以∠BAH=∠CAE，AH=AE，

所以∠HAE=∠BAC=60°，

所以△AEH是等边三角形，

所以AE=EH，

所以BE=BH+EH=EC+AE，

即BE=AE+EC

2.答案：见解析

解析：（1）因为AC=BC，

所以∠A=∠B.

由折叠的性质得,

所以.

因为.

∠AOD=∠BOC,

所以.

(2)过点作交于点,如答图①所示,

则.

因为,

所以.

因为,

所以,

所以是等腰直角三角形,

所以,所以.

因为,

所以.

在和中,

所以△CEF≌△GEB（ASA），

所以BE=EF.

（3）在CF上取一点G，使∠EGC=∠ECG，如答图②所示，

则EG=EC，

同（1）得∠EFG=∠EBC，

因为AC=BC，

所以∠CAB=∠CBA.

因为CE∥AB，

所以∠ECG=∠CAB，∠HCB=∠CBA，

所以∠EGC=∠ECG=∠CAB=∠CBA=∠HCB，

所以.

在和中,

所以(AAS),

所以.

3.答案：见解析

解析：（1）因为AC=AD，

所以∠ADC=∠ACD，

所以180°-∠ADC=180°-∠ACD，

即∠ADB=∠ACE.

在△ABD和△AEC中，

所以△ABD≌△AEC（SAS），

所以AB=AE.

（2）如下图，延长BC到点E，使CE=BD，连接AE，由（1）知AB=AE，

所以∠E=∠B=60°，

所以∠EAB=180°-∠E-∠B=60°，

以△ABE是等边三角形，

同理，△DBF是等边三角