课时分层作业14　椭圆的几何性质.doc

课时分层作业(十四)椭圆的几何性质

一、选择题

1．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在x轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝()

A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)

C．2 D．4

D[将椭圆方程化为标准形式为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，

所以长轴长为2，短轴长为2eq\r(\f(1,m))，

由题意得2＝2×2eq\r(\f(1,m))，解得m＝4.]

2．椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0k9)的关系为()

A．有相等的长轴 B．有相等的短轴

C．有相同的焦点 D．有相等的焦距

D[由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]

3．已知椭圆x2＋eq\f(y2,b2＋1)＝1(b＞0)的离心率为eq\f(\r(10),10)，则b等于()

A．3 B．eq\f(1,3)

C．eq\f(9,10) D．eq\f(3\r(10),10)

B[易知b2＋1＞1，由题意得eq\f((b2＋1)－1,b2＋1)＝eq\f(b2,b2＋1)＝eq\f(1,10)，解得b＝eq\f(1,3)或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故选B.]

4.如图所示，把椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝()

A．35 B．30

C．25 D．20

A[设椭圆右焦点为F′(图略)，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P

5．已知O是坐标原点，F是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点，过F且与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为()

A．eq\f(5,13) B．－eq\f(5,13)

C．eq\f(2\r(13),13) D．－eq\f(2\r(13),13)

B[由题意，a2＝4，b2＝3，

故c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(4－3)＝1.

不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以eq\f(12,4)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3)＝1，

解得y0＝±eq\f(3,2)，

所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(13),2).

由余弦定理知cos∠MON＝eq\f(|OM|2＋|ON|2－|MN|2,2|OM||ON|)

＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(13),2)))\s\up12(2)－32,2×\f(\r(13),2)×\f(\r(13),2))＝－eq\f(5,13).]

二、填空题

6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C，D的椭圆的离心率为________．

eq\f(1,2)[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).]

7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为eq\f(\r(5),5)，且过点P(－5，4)，则椭圆的标准方程为________．

eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1[∵e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5)，∴eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,5)，

∴5a2－5b2＝a2，即4a2＝5b

设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(5y2,4a2)＝1(a＞0)，

∵椭圆过点P(－5，4)，∴eq\f(25,a2)＋eq\f(5×16,4a2)＝1.

解得a2＝45.∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,36)＝1.]

8．过椭圆eq\f(x2,4)＋