课时分层作业19　抛物线的几何性质.doc

课时分层作业(十九)抛物线的几何性质

一、选择题

1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于()

A．2 B．1

C．4 D．8

C[抛物线y2＝2px(p0)的准线为x＝－eq\f(p,2)，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋eq\f(p,2)＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.]

2．抛物线y2＝2px过点A(2，4)，F是其焦点，又定点B(8，－8)，那么|AF|∶|BF|＝()

A．1∶4 B．1∶2

C．2∶5 D．3∶8

C[将点A(2，4)的坐标代入y2＝2px，得p＝4，

∴抛物线方程为y2＝8x,焦点F(2，0)，已知，B(8，－8)，

∴eq\f(|AF|,|BF|)＝eq\f(\r((2－2)2＋(4－0)2),\r((8－2)2＋(－8－0)2))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).]

3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝2 D．x＝－2

B[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝2px1，①,yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝2px2，②))

①－②得，

(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2).

又∵y1＋y2＝4，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(2p,4)＝eq\f(p,2)＝k＝1，∴p＝2.

∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.]

4．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为()

A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)

C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)

B[设A(x1，y1)，B(x2，y2).

由题意知AB的方程为y＝－2(x－1)，

即y＝－2x＋2.

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2，))得x2－4x＋1＝0，

∴x1＋x2＝4，x1·x2＝1.

∴|AB|＝eq\r((1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])

＝eq\r((1＋4)(16－4))＝eq\r(5×12)＝2eq\r(15).]

5．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|，|BF|满足|AF|＋|BF|＝8，则k＝()

A．2或－1 B．－1

C．2 D．1±eq\r(5)

C[设A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx－2,y2＝8x))消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，

故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝eq\f(4(k＋2),k2).

由|AF|＝x1＋eq\f(p,2)＝x1＋2，|BF|＝x2＋eq\f(p,2)＝x2＋2，且|AF|＋|BF|＝8，即x1＋2＋x2＋2＝8，得x1＋x2＝4，

所以eq\f(4(k＋2),k2)＝4，解得k＝－1或k＝2，又k＞－1，故k＝2.]

二、填空题

6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．

0或1[当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.]

7．直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段的中点坐标是________．

(3，2)[将y＝x－1代入y2＝4x，整理，得x2－6x＋1＝0.由根与系数的关系，得x1＋x2＝6，eq\f(x1＋x2,2)＝3，

∴eq\f(y1＋y2,2)＝eq\f(x1＋x2－2,2)＝eq\f(6－2,2)＝2.

∴所求点的坐标为(3，2).]

8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________．

eq\f(3\r(2),2)[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.

由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,y2＝4x