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抛物线
【考点梳理】
抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
标准y
标准
y2=2px
(p0)
y2=-2px
(p0)
x2=2py
(p0)
x2=-2py
(p0)
方程
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
y=0
x=0
焦点
F??2,0??
?p
?
F??-2,0??
?
p
?
F??0,2??
?
p?
F??0,-2??
?
p?
离心率
e=1
准线方程
x
=-2
p
x=2
p
y=-2
p
y=2
p
范围
x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
焦半径
p
p
|PF|
x0+2
-x0+2
y0+2
p
-y0+2
p
【教材改编】
67 2(4)1.(选修2-1P 练习T 改编)抛物线8x2?y?0的焦点坐标为
67 2(4)
A.?0,?2? B.?0,2?
?C.?0,?
?
?
1?
?32?
?
D.?0,
??
?
1?
?32?
?
[答案] C
1
[解析] 由8x2?y?0,得x2?? y.
8
2p?1,p?1,
8 16
?∴焦点为?0,?
?
?
1?,故选C.
32?
32?
x?2.(选修2-1P A组T 改编)以 1
x?
73 2(1)
∴方程为y2??4x,故选D.
(p?0)且p
A.
A.y2
?2x
B.y2
??2x
C.y2
?4x
D.y2
??4x
[答案]
[解析]
D
由准线x?1知,抛物线方程为:y2??2px
?1,p?2,
3.(选修2-1P73
A组T3
改编)?是抛物线y2?2px(p?0)位于第一象限的点,
F是抛物线的焦点,若?F?
A.4
3
C.5
4
[答案] A
5p,则直线?F的斜率为( )
2
B.5
3
D.5
2
[解析] 设??x,y
0 0
?,由?F?
5p,得
2
x?p?5p,?x
?2p.
0 2 2 0
?y2
0
?2px
0
?4p2,取正根得y
0
?2p.
即?的坐标为?2p,2p?,又F的坐标为?p,0?,
∴k ?2p?0?
? ?
2? ?
2
4,故选A.
?F 2p?p 3
2
4.(选修2-1P74A组T8改编)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽为( )
A.2 3m
C.4 2m
B.2 m
6D.4 3m
6
[答案] B
[解析] 建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),则
A(2,-2),将其坐标代入x2=-2py,得p=1.
∴x2=-2y.
0当水面下降1m,得D(x0,-3)(x00),将其坐标代入x2=-2y,得x2=6,∴x0
0
6=6.∴水面宽|CD|=2 m.故选B.
6
5.(选修2-1P69例4改编)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( )
22A. 2 B.
2
2
C
C.
3
2
2
D.2 2
[答案] C
[解析] 由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),(y10,y20),如图所示,|AF|=x1+1
=3,
∴x1=2,y1=2 2.
??y2=4x,
设AB的方程为x-1=ty,由? 消去x得y2-4ty-4=0.
??x-1=ty
∴y1y2=-4,
∴y2
=-2,x2
=1,
2∴S =1
2
1×|y-y|=3 2,故选C.
△AOB 2×
1 2 2
6.(选修2-1P73A组T1改编)双曲线x2-y2=4与抛物线C:y2=2px(p0)的准线相交于A,B两点,若|AB|=4 3,则抛物线C的方程为( )
A.y2=2x
C.y2=8x[答案] D
B.y2=4x
D.y2=16x
p p2
[解析] 抛物线的准线方程为x=-2,代入x2-y2=4,得y=±
p2
p
以 4-4=2 3,解得p=8,则抛物线C的方程为y2=16x,
故选D.
4-4,所
7.(选修2-1P66例1(2)改编)焦点在直
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