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第六章欧几里得空间(EuclidSpaces)第一节欧几里得空间6.1向量的标准内积6.2标准正交基第二节正交变换
第一节欧几里得空间一、基本概念定义:设是实线性空间,如果存在一个法则使得中任意两个向量有中一个确定的实数与之对应,且具有如下性质:1)对称性:2)线性性:3)正定性:这里,那么实数称为与内积,而称为关于这个内积的的欧氏空间,简称欧氏空间.
我们
例在里,对于任意两个向量规定容易验证,关于内积的公理被满足,因而对于这样定义的内积来说作成一个欧氏空间.例在里,对于任意向量规定也作成一个欧氏空间.不难验证,
2欧几里德空间的基本性质定义向量的长度具有下列性质:
定义
3标准正交基底欧氏空间的一组非零向量,如果它们两两正交(内积等于零),就称之为一个正交组。全由单位向量构成的正交组称为标准正交组。约定:单独一个非零向量也叫一个正交组。与在中,为标准正交基,而是是正交组但不是标准正交组
定理正交组必是线性无关组。证:设有使得因为当i≠j时,所以但,所以线性无关.即
维欧氏空间中正交组中向量的个数设为维欧氏空间,若基定义是正交组,则称之为的一个正交基。而由标准正交组作成的基称为标准正交基。R的标准正交基是存在的但不是唯一的。n注意
标准正交基的性质为的一个正标准正交基的充分。即必要条件是的度量矩阵维欧氏空间的标准正交基是存在的。设为的一个正标准正交基,而则
定理定理维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组标准正交基.对于维欧氏空间中任一组基都可以找到一组标准正交基使得,,即
施密特正交化方法
例在欧氏空间中对基施行正交化方法得出的一个标准正交基.解:第一步,取
第二步,先取然后令
第三步,取再令于是就是的一个规范正交基。
第二节正交变换定义方阵为正交矩阵的充分必要条件是的行(列)向量都是单位向量,且两两正交.
定义若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换.正交变换的特性在于保持线段的长度不变.
V2空间的正交变换设σ是的一个正交变换,σ关于的一个规范正交基的矩阵是那么U是一个正交矩阵.于是(2)由第一个等式,存在一个角α,使a=cosα,c=±sinα
由于cosα=cos(±α),±sinα=sin(±α)因此可以令a=cosφ,c=sinφ这里φ=α或–α.同理,由(4)的第二个等式,存在一个角ψ使b=cosψ,d=sinψ将a,b,c,d代入(4)的第三个等式得Cosφcosψ+sinφsinψ=0或cos(φ+ψ)=0
最后等式表明,φ-ψ是的一个奇数倍.由此得所以或
在前一情形中,σ是将的每一向量旋转角φ的旋转;在后一情形,σ将中以(x,y)为坐标的变量变成以(xcosφ+ysinφ,xsinφ–ycosφ)为坐标的向量.这时σ是直线的反射.这样,的正交变换或者是一个旋转,或者是关于一条过原点的直线的反射.
一、如何证明所给矩阵为正交矩阵
证明
二、将线性无关向量组化为正交单位向量组将线性无关向量组化为正交单位向量组,可以先正交化,再单位化;也可同时进行正交化与单位化.
解一先正交化,再单位化
解二同时进行正交化与单位化
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