高考数学空间向量与立体几何总复习.docx

空间向量运算的几何表示（如平行四边形法则）

空间向量运算的几何表示

（如平行四边形法则）

空间向量的定

义及其运算

用空间向量表示

点、线、面等元素

建立空间图形与

空间向量的联系

利用空间向量运算

解决立体几何问题

空间向量运算的坐标表示

（加减法、数乘、数量积）

一、知识网络构建

定义

定义

加法

运算

减法

立

体几何中的向量方

法

垂直关系

平行关系

空间向量

空间距离

数量积

坐标表示

空间角

空① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程

空

① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程

空间

间

② 了解空间向量的概念、基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解

向量

向

及其坐标表示

及其

量

③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示

运算

与

④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量

立

立

的共线与垂直

体

① 理解直线的方向向量与平面的法向量

空间

几

② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系

向量

何

③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理

的运

④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方

用

法在研究几何问题中的作用

三、知识要点及考点精析

（一）空间向量及其运算1．空间向量的概念

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．还需要掌握的几个相关的概念包括相等向量、零向量、共线向量等．2．空间向量的线性运算

空间向量的加法、减法和数乘运算

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算．加法运算对于有限个向量求和，交换相加向量的顺序其和不变．三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．加法和数乘运算满足运算律：

①交换律，即a+b=b+a；

②结合律，即(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均为实数）．

空间向量的基本定理

① 共线向量定理：对空间向量 a，b(b?0)，a∥b的充要条件是存在实数 ?，使

a=?b．

②共面向量定理：如果空间向量a，b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x，y，使c=xa+yb．

③空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有

序实数组x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空间的一个基底，a,b,c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底{a，b，c}惟一线性表示（线性组合）．

两个向量的数量积

两个向量的数量积是a?b=|a||b|cosa,b，数量积有如下性质：a,b,c

①a?e=|a|cosa,e（e为单位向量）；

②a?a?a?b=0；

③a?a=|a|2；

④|a?b|?|a||b|．

数量积运算满足运算律：

①交换律，即a?b=b?a；

②与数乘的结合律，即（?a）?b=?（a?b）；

③分配律，即（a+b）?c=a?c+b?c．

空间向量的坐标运算

给定空间直角坐标系O?xyz和向量a，存在惟一的有序实数组使a=ai+a

1 2

j+ak，

3

则(a，a，a

)叫作向量a在空间的坐标，记作a=(a，a，a)．

1 2 3 1 2 3

空间向量的直角坐标运算律

①若a=(a，a，a

)，b=(b，b，b

)，则a+b?(a?b，a

?b，a?b)，

1 2 3

1 2 3

1 1 2

2 3 3

a?b?(a?b，a

?b，a?b)，?a?(?a，?a，?a

)，a?b?(ab,ab,ab)．

1 1 2

2 3 3

1 2 3

11 22 33

a∥b?a??b，a

??b，a ??b

(??R)，a⊥b?ab?ab?ab

?0．

1 1 2

2 3 3

11 22 33

②若A(x，y，z

)，B(x，y，z

)，则AB?(x

x，y

y，z

z)．即一个向量在直

1 1 1

2 2 2

2 1 2

1 2 1

角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段