2025届高考数学一轮复习-第2课时球的切、接问题课件.pptxVIP

第2课时球的切、接问题

目录CONTENTS12课时跟踪检测考点分类突破

PART1考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

几何体的外接球?A.100πB.128πC.144πD.192π

?

（2）（2024·全国乙卷16题）已知点S，A，B，C均在半径为2的球

面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA

＝?.2

?

?

解题技法1.求几何体外接球半径的方法（1）补体法：把几何体补成长方体、正方体、正四面体，再利用

它们外接球半径公式求解；（2）性质法：球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点

的连线与弦垂直.

2.确定球心的常用结论（1）长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；（2）正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；（3）直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的

中点；（4）正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角

三角形运用勾股定理计算得到.

1.（2024·菏泽一模）已知三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂

直，且PA＝1，PB＝2，PC＝3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面

积为（）A.πB.14πC.56πD.π

解析：以线段PA，PB，PC为相邻三条棱

的长方体PABB-CAPC被平面ABC所截的三棱

锥P-ABC符合要求，如图，长方体PABB-

CAPC与三棱锥P-ABC有相同的外接球，其外

接球直径为长方体体对角线PP，设外接球的半径为R，则（2R）2＝PP2＝PA2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S＝4πR2＝π·（2R）2＝14π.

2.（2021·全国甲卷11题）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上

的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O-ABC的体积为

（）A.B.C.D.

?

几何体的内切球【例2】（1）（2024·全国甲卷15题）在正方体ABCD-A1B1C1D1

中，E，F分别为AB，C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正

方体的棱共有个公共点；12

?

（2）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的

球的体积为?.??

解题技法内切球问题的处理思路通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，解题

思路如下：（1）定球心：内切球中球心到切点的距离相等且为半径；（2）作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包

含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到

空间问题平面化的目的；

（3）求半径、下结论：根据作出的截面中的几何元素，建立关于球

半径的方程，并求解.提醒求解多面体内切球问题，一般是将多面体分割为以内切

球球心为顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的

体积等于分割后各棱锥的体积之和，求内切球的半径.

1.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，

则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.B.C.D.

?

2.已知三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝

5，PA＝3，则该三棱锥的内切球的体积为?.??

?

与球切、接有关的最值问题【例3】（1）（2022·全国乙卷9题）已知球O的半径为1，四棱锥的

顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积

最大时，其高为（）A.B.C.D.

?

?

?

（2）（2024·全国甲卷16题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝

4，O为AC1的中点，若该正方体的棱与球O的球面有公共点，

则球O的半径的取值范围是?.?

?

解题技法处理与球切、接有关最值问题的解题策略（1）截面法：①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且

为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；②

作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的.（2）代数法：找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方

法求目标函数的最值.