2025届高考数学一轮复习-第2课时球的切、接问题课件.pptxVIP

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第2课时球的切、接问题

目录CONTENTS12课时跟踪检测考点分类突破

PART1考点分类突破精选考点典例研析技法重悟通课堂演练

几何体的外接球?A.100πB.128πC.144πD.192π

?

(2)(2024·全国乙卷16题)已知点S,A,B,C均在半径为2的球

面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA

=?.2

?

?

解题技法1.求几何体外接球半径的方法(1)补体法:把几何体补成长方体、正方体、正四面体,再利用

它们外接球半径公式求解;(2)性质法:球心与截面圆心的连线与截面垂直,球心与弦中点

的连线与弦垂直.

2.确定球心的常用结论(1)长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点;(2)正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点;(3)直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的

中点;(4)正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过建立直角

三角形运用勾股定理计算得到.

1.(2024·菏泽一模)已知三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂

直,且PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥P-ABC的外接球的表面

积为()A.πB.14πC.56πD.π

解析:以线段PA,PB,PC为相邻三条棱

的长方体PABB-CAPC被平面ABC所截的三棱

锥P-ABC符合要求,如图,长方体PABB-

CAPC与三棱锥P-ABC有相同的外接球,其外

接球直径为长方体体对角线PP,设外接球的半径为R,则(2R)2=PP2=PA2+PB2+PC2=12+22+32=14,则所求表面积S=4πR2=π·(2R)2=14π.

2.(2021·全国甲卷11题)已知A,B,C是半径为1的球O的球面上

的三个点,且AC⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC的体积为

()A.B.C.D.

?

几何体的内切球【例2】(1)(2024·全国甲卷15题)在正方体ABCD-A1B1C1D1

中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正

方体的棱共有个公共点;12

?

(2)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的

球的体积为?.??

解题技法内切球问题的处理思路通法是作截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,解题

思路如下:(1)定球心:内切球中球心到切点的距离相等且为半径;(2)作截面:选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包

含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系),达到

空间问题平面化的目的;

(3)求半径、下结论:根据作出的截面中的几何元素,建立关于球

半径的方程,并求解.提醒求解多面体内切球问题,一般是将多面体分割为以内切

球球心为顶点,多面体的各侧面为底面的棱锥,利用多面体的

体积等于分割后各棱锥的体积之和,求内切球的半径.

1.如图,已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球,

则平面ACD1截球O的截面面积为()A.B.C.D.

?

2.已知三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC=4,BC=3,AB=

5,PA=3,则该三棱锥的内切球的体积为?.??

?

与球切、接有关的最值问题【例3】(1)(2022·全国乙卷9题)已知球O的半径为1,四棱锥的

顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积

最大时,其高为()A.B.C.D.

?

?

?

(2)(2024·全国甲卷16题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=

4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,

则球O的半径的取值范围是?.?

?

解题技法处理与球切、接有关最值问题的解题策略(1)截面法:①定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且

为半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径;②

作截面:选准最佳角度作出截面,达到空间问题平面化的目的.(2)代数法:找出问题中的代数关系,建立目标函数,利用代数方

法求目标函数的最值.

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