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一次方程组的应用
一次方程组是解决许多实际问题的有力工具,主要体现在:
首先,用于解代数式的化简与求值问题,一些表面与方程组无关的问题,但经过分析,借助有关概念、性质、对问题的理解,我们可通过建立一次方程组来解决.
其次,用于解应用题,对于含有多个未知量的问题,我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易.一般说来,许多应用题既可用列方程来解,又可用列方程组来解,它们有各自的优缺点.因此,解题时需具体问题具体分析,当列方程比较困难时,可改用列方程组来解决问题.
例题:【例1】 项王故里的门票价格规定如下表:
购票人数
购票人数
每人门票价
l~50人
5元
51~100人
4.5元
100人以上
4元
某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里,如果两班都以班为单位分别购票,一共需付486元.(1)如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节约多少元钱?(2)两班各有多少名学生?(宿迁市中考题)
思路点拨设甲班有x名学生,乙班有y名学生,则有以下三种可能情况:51≤x≤100,
1≤y≤50;51≤x≤100,5l≤y≤100;x100,1≤y≤50.故分类讨论是解本例的关键.
【例2】某工程由甲、乙两队合做6天完成,厂家需付甲、乙两队共8700元;乙、丙两队合做10天完成,厂家需支付乙、丙两队共9500元;甲、丙两队合做5天完成全部工程
的2,厂家需付甲、丙两队共5500元.现在厂家要求不超过15天完成全部工程,可由哪队
3
单独完成此项工程花钱最少?请说明理由.(天津市中考题)
【例3】某果晶商店进行组合销售,甲种搭配:2千克A水果,4千克6水果;乙种搭配:3千克A水果.8千克B水果,1千克C水果;丙种搭配:2千克A水果,6千克B水果,l千克C水果.已知A水果每千克2元,B水果每千克1.2元,C水果每千克10元.某天该商店销售这三种搭配水果共441.2元.其中A水果的销售额为116元,问C水果的销售额为多少元?(全国初中数学联赛试题)
【例4】两辆汽车从同一地点同时出发,沿同一方向同速直线前进,每车最多能带24桶汽油,每桶汽油可以使一辆车前进60km,两车都必须返回出发地点,但可以不同时返回,两车均可以借对方的油,为了使一辆车尽可能地远离出发点,另一辆车应该在离出发点
km的地方返回.
思路点拨 要使甲车尽量走远,应使两车分别时甲车装满24桶汽油,而乙车留下供两车返回时所用的油.
设从开始出发到分别,甲、乙车各用了x桶油,则乙车应留下2x桶油,并借给甲车x桶油,使甲车装满24桶油,依据题意,列方程x+x+2x=24.解得x=6.60×6=360(km).所以,乙车应在离出发点360km处返回.
【例5】甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进,第一次相遇在距A点700m处,然后继续前进,甲到B地,乙到A地后都立即返回,第二次相遇在距B点400m处,求A、B两地间的距离是多少米?
思路点拨设A、B两地间的距离是xm,第一次相遇甲走了700m,第一次相遇后到
第二次相遇甲走了(x—700)+400=(x-300)m,因为甲、乙两入速度不变,甲、乙两人第一次相遇共走了xm,第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2xm,所用时间是第一次相遇所用时间的2倍,所以甲第一次相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍,
即x-300=2×700.解得x=1700m,所以,A、B两地间的路程是1700m.
【例6】快、慢两列车的长分别为150m,200m,相向行驶在平行轨道上,若坐在慢车上的人见快车驶过窗口的时间为6s,问坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间是多少?思路点拨 设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为xs.由于两列车相向行驶
的相对速度是一样的,所以坐在车上看另一辆车驶过窗口的时间与车长成正比,
由题意得6:x=150:200.解得x=8(s)答:坐在快车上的人看见慢车驶过窗口用的时间为8s.
【例7】小刚骑自行车沿公路以akm/min的速度前进,每隔bmin迎面开来一辆公共汽车,每隔cmin(c>b)从后面开过一辆公共汽车.若汽车均为相同的速度,始、终点发车间隔时间相同,求汽车的速度和发车的间隔时间.
思路点拨设汽车速度为xkm/min,发车的间隔时间为tmin.
?(a?x)b?tx
?
?x?
a(c?b
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