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对数学教学的开放性的几点认识

一、数学学科体系是一个开放的系统

数学教学常常被人看成是“逻辑教育”，而逻辑又只看成“形式逻辑”、“演绎逻辑”。形式逻辑从一组公理出发进行演绎的特征，显示的是数学教学封闭性的一面。从这个意义上看，数学教学确实是封闭的。然而，只要仔细分析一下，数学教学和其它学科一样，同样是一个开放的系统。

事实上，辩证逻辑只是数学学科在思维形式的结构及其规律上区别于其他学科的一个特征，它并不代表数学的全部。即使象被视作人类理性思维典范的《几何原本》，演绎也只是它的外壳。对一个数学家来说，选择哪些事实作为公理是开放的。有了公理，建立哪些命题和定理才有意义，当然是一个开放的选择。一旦建立了一个猜想，如何加以证明，选择何种思维策略进行探究，更是一个开放式的选择过程。还有，要展开一个数学理论，必须要建立一些概念；概念的建立始于观察，从现实世界获取灵感，依照归纳、类比、综合的方式加以表征，最后获得概念。显然这个过程也是开放式的。

由次展开，作为数学学科（在这里，也可说数学科学）载体的数学课程则具有更大的开放性。比如，从自然、社会与其他学科中选择哪些素材，设置怎样的问题情境，如何体现数学知识的形成与应用过程，用何种形式呈现课程，重要的数学概念与数学思想的教学按什么原则设计，等等，给数学课程开发者提供了很大的空间。

数学知识经过整理之后，往往是以概念、判断、推理、论证为基本形式进行封闭的演绎处理，把当时生动活泼的开放式的思维过程“过滤”掉了。但学生在数学学习过程中的认识程序却是从获得感性认识开始的。数学教师的任务之一就是把知识整理的开放式的思维过程恢复过来，让学生感受“开放式”思维和“封闭性”表达相结合的数学特点。

二、数学教学过程具有开放性

之所以说数学教学过程具有开放性，原因是：

第一，学生的思维活动是开放的。学生的发散性思维能力以及他们思维的独立性和批判性便是很好的例证。臂如，让学生想象图形“M”，会出现皇冠、 火山口、驼峰、飞翔的海鸥、人在游泳时的双臂等不同的结论。

第二，数学思维进程是多种多样的。以数学解题的思维过程（它是指从理解问题开始，经过探索思路、转换问题直至解决问题、进行回顾的全过程）为例，有人将它分为三个层次：一般的解决、功能的解决和特殊的解决。而著名数学家波利亚将这一过程分为四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。

第三，在数学教学过程中，学生的开放性和数学思维的多样性共存。基于以上认识，我们在设计数学教学时，就必须使用开放的方法处理各种问题。

三、数学开放题教学是开放式数学教学的切入口

开放题是相对于传统的封闭题而言的。我们把对数学问题指向只有原则性要求的数学问题称为开放性数学问题，或简单说成数学开放题，其本质是“对问题指向只有原则性要求”和“一题多题”。所谓一题多题，其中第一个题是指开放性数学问题，第二个题是指封闭性数学问题，即一个开放性数学问题可以转化为多个有确定问题指向的封闭性数学问题。事实上，问题是相对于问题解答者的认知水平而言的，事先设定的同一“确定的问题情境”对不同认知水平的解答者来说，未必是相同的“问题”。以八年级课本上的一道练习为例，“如果一个直角三角形的两条边长分别是3厘米和4厘米，那么这个三角形的周长是多少厘米？”这是一个条件开放性问题，对不同学生来说，存在不同的理解，有的学生竟将它转化为六个封闭性问题。

与解答封闭性数学题不同，解答开放性数学问题实际上有两个要求。首先要求发现并构造出具体的封闭性数学问题，其次是解决这个封闭性数学问题。发现并构造问题是解题者选取适合自己的问题起点或终点，这样可以变解题者被动适应题目要求为根据自己实际水平主动构造反映自己水平的具体问题。数学开放题的上述特征决定了数学开放题教学的优越性，那就是：

⒈教师和学生双方互联互动，体现合作；

⒉扩展了学生的学习空间，所有的学生在过程中学习有区别的数学；

⒊问题的提出和解决是渐进式的，学生能通过自己的体验构建新的认知结构，有利于调动学生的积极性；

⒋有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力。

“整个现代教学的历史，是人们不断探索合理的教学模式的历史。”数学开放题的出现，实际上反映了人们对于数学教学新模式的追求。在数学开放式教学的理论尚未成熟，而相应的教学实践还处在探索之中时，数学开放题教学无疑是发展开放式教学理论的最佳切入口。数学开放题作为具有时代特征的新题型，它代表着一种新的教学模式。加强数学开放题教学，必定使数学课堂走向开放式的教学。