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2018温州中学自主招生综合素质测试数学试题
（本试卷满分150，考试时间120分钟）
选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
已知锐角满足，则下列结论正确的是（）
已知，则的取值范围是（）
设，，则的、的大小关系是（）
若方程有四个非零实根，且他们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数的值是（）
已知是质数，均为整数，则方程的解的个数是（）
如图1，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点，为线段的中点，若点、分别为线段、上的动点，则的最小值为（）
已知实数满足，则的最大值为（）
如图2，、、分别是三边、、上的点，、、两两交于点、、.若，现给出下列三个结论：
①②③.
其中正确的个数为（）
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
已知，则
函数的图象的对称中心的坐标为
已知6件产品中有4件正品，2件次品，工厂质检员小邵随机地对产品逐一进行检验，直到确定所有次品为止，则检验次数小于或等于3的概率为
方程的解为
如图，已知等腰梯形，，以为直径的圆与相切，与相交于点.于点，若，则
已知函数，若对于任意恒成立，则的最大值与最小值的和为
解答题（本大题共5小题，共74分）
（14分）设，为实数，为正整数，已知，，，.
求.（2）若对于任意正数，不等式恒成立，求实数的最大值.
（14分）如图4，四边形满足，，于，于，为的垂心，求证：、、三点共线.
（14分）如图5，已知过点的直线与抛物线交于两点，直线与直线交于点.
求证：轴
若点在直线上的射影为，求四边形面积的最小值.
（16分）将的表格中每个单位正方形共个顶点染成红色或者蓝色.注：单位正方形是指边长为1的正方形
如图6，当时，若每个单位正方形恰好有三个点同色，试求不同的染色方法数.
当时，若每个单位正方形恰好有两个点同色，试求不同的染色方法数.
（16分）如图，圆与的外接圆交于点，，直线分别与直线，交于点，，过点作的垂线交圆于点，且满足，，三点共线，，，三点共线.
求证：
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